“数形结合”思想在一次函数中的应用是中考命题的一个热点，也是平时学习一次函数解决应用问题的一个重点.“数形结合”的中心思想就是把问题的数量关系转化为图像的性质或者把图像的性质转化为数量关系来解决问题.在解一次函数应用问题时，如果把数与形结合起来考虑，就可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化．
一、从“数”到“形”的思想应用
例1.一辆速度为90千米/小时的汽车由青岛匀速驶往济南，下列图像中能大致反映汽车行驶路程s（千米）和行驶时间t（小时）的关系的是（）
分析：根据题意得，汽车行驶路程s（千米）和行驶时间t（小时）的关系式是s=90t，所以行驶路程s和行驶时间t成正比例函数关系.因为路程与时间都不能为负数，所以行驶路程s和行驶时间t之间的函数图像应该是在第一象限的一条射线，故应选D．
评注：解从“数”到“形”的问题时，应先找出两个变量之间的函数关系，然后根据函数关系式作出函数的大致图像，从而归纳出函数的图像特征.
二、从“形”到“数”的思想应用
例2.为了鼓励小强勤做家务，培养他的劳动意识，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图所示．
（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费为多少元.父母是如何奖励小强家务劳动的？
（2）写出当0≤x≤20时，相对应的y与x之间的函数关系式；
（3）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？
分析：（1）根据函数图像的信息可知，小强每月的基本生活费为150元，父母的奖励方法是：如果小强每月做家务的时间不超过20小时，每小时获得奖励2.5元；如果小强每月做家务的时间超过20小时，那么20小时每小时按2.5元奖励，超过部分按每小时奖励4元；（2）根据函数图像知，当0≤x≤20时，它是一个一次函数图像，即设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.因为点（0，150），（20，200）在函数y=kx+b上，所以函数关系式为y=2.5x+150；（3）根据函数图像知，当x>20时，它也是一个一次函数图像，即设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.因为点（20，200），（30，240）在函数y=kx+b上，所以函数关系式为y=4x+120.当y=250时，4x+120=250，解得x=32.5．
评注：解从解从“形”到“数”的问题时，应注意观察函数图像的形状特征，充分挖掘图像的已知条件，确定函数的解析式，从而利用函数的性质来解.
三、“数形结合”思想的综合运用
例3.某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头．假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y（升）与接水时间x（分）的函数图像如图．
请结合图像，回答下列问题：
（1）根据图中信息，请你写出一个结论；
（2）前15位同学接水结束共需要几分钟？
（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟．”你说可能吗？请说明理由．
分析：（1）根据函数的图像信息可知，锅炉内原有水96升；接水2分钟以后锅炉内的余水量为80升；接水4分钟以后锅炉内的余水量为72升，等等．（2）根据函数图像知，当0≤x≤2时，它是一个一次函数图像，即设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.因为点（0，96），（2，80）在函数y=kx+b上，所以函数关系式为y=-8x+96；当x>2时，它也是一个一次函数图像，即设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.因为点（2，80），（4，72）在函数y=kx+b上，所以函数关系式为y=-4x+88，前15位同学接水后的余水量为96-15×2=66，当y=66时，代入y=-4x+88中，解得x=5.5．（3）①若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8×2÷8=2（分钟），8位同学接完水只要2分钟，与接完水时间恰好用了3分钟不相符；②若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设这8位同学从t分钟开始接水，当02时，则8×2÷4=4（分钟），与接水时间3分钟不符，所以小敏的说法是有可能的.即从1分钟开始8位同学连续接完水恰好用了3分钟．
评注：解“数形”结合的问题时，应注意运用“由数想形，以形助数”的解题策略，充分挖掘题目中的已知条件，从而创造性地解决问题.
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