2009年10月的一天,我给学生布置了浙江版教材第四章第4.3节第112页第7题(即“有一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似”)的作业,由于作业辅导课时间受限,完成本题学生显得较仓促,否则为师的我定然会根据辅导巡视时所获得的反馈,给予适当的提示甚至还会给予最常规的证法作为示范。幸好这样的预设因时间问题而被迫终止,虽然当时略有遗憾地离开课堂但却因之获得意外之喜:批阅学生作业时,证明方法中走寻常路者居多,而且还存在推理不严密、层次不清、因果关系张冠李戴等情形,但作业中所表现出来不同证法让批阅的我眼前为之一亮。于是我双手拿着作业本合压在胸口,闭上眼睛,陶醉于不曾始料的惊喜之中。此刻,我想把同学们的解法一一展示给朋友们,旨在投石问路,获得更大更多的意外。
一、证明方法展示
(一)常规证法
这种证法是教材教学参考用书提供的方法。这种方法与刚刚学习的比例中常用的“设比值k”通法,时间间隔短,在学习中尚处于正迁移的有利时期,想到它属于正常。至于直角三角形有“已知两边”而联想到勾股定理去表示第三边是很自然的思维。
1.学生中也出现不严密的推理跳跃性证明:
∵∠C=∠C′=90°
∴BC=,
B′C′=
=
∵=
∴==,(这一步推理产生了跳跃)
∴△ACB∽△A′C′B′
2.教师参考用书中提供的证明:
设==k,
则AC=kA′C′,AB=kA′B′
∵∠ACB=∠A′C′B′=Rt∠
BC=
=
=k=kB′C′
∴===k
∴Rt△ACB∽Rt△A′C′B′(“SSS”相似)
(二)“平移”法
这种证明方法,属于趁热打铁,因为本节中曾用此法证明“边角边”相似,学生想到是再正常不过了的。
方法一:不妨设A′C′≥AC,在A′C′和A′B′上分别截取A′D=AC,A′E=AB,连结
DE。
又∵=
∴=
∵∠A′=∠A′,
∴△A′ED∽△A′B′C′.
∴∠A′DE=∠C′=90°
A′D=AC,∠C=∠A′DE=90°,A′E=AB
∴△ACB≌△A′DE(HL).
∴△ACB∽△A′C′B′(相似的传递性)
方法二:在A′C′上取A′D=AC,过点D作DE∥B′C′交A′B′于E.
∴△A′DE∽△A′C′B′
∴=
∵=
∴=
∴ A′E=AB
∵A′D=AC,∠C=∠A′DE=90°
∴△ACB∽△A′DE
∴△ACB∽△A′C′B′(相似三角形的传递性)
(三)“三角函数”法
为知识的系统性与完整性考虑,并根据学生实际,我们在学习二次函数后,就调整先学习三角函数,因此只要学过三角函数的学生,本方法还是很自然联想到。因为在直角三角形中,直角边与斜边的比可定义为某个锐角的正(余)弦,所以由此想到正(余)函数值相等的两个锐角相等而得∠B=∠B′。
方法一证明:
∵∠ACB=∠A′C′B′=90°
∴sinB=,sinB′=
∵=
∴ sinB=sinB′
∵∠B,∠B′都是锐角
∴∠B=∠B′
∵∠ACB=∠A′C′B′=90°
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′(“AA”相似)
方法二证明:由方法一可知∠B=∠B′
∵∠ACB=∠A′C′B′=90°
∴∠A=∠A′
∵=
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′(“SAS”相似)
(四)“意料不及”的证法――“中线”闪亮登场
这是由我所任教班级中一位名叫王威的聪明男生所创,批阅他的作业时,非常佩服他的思维,想不到他能把直角三角形斜边上的中线拿过来当“辅助线”,他灵感来得好奇妙哟;同时也获得一种学生超越老师的莫大幸福!教学相长,师生共进,不正是我们翘首以盼的嘛?
证法一:分别取AB、A′B′中点D、D′,连结CD,C′D′。
∴ AD=AB,A′D′=A′B′
∵∠ACB=∠A′C′B′=90°
∴CD=AB,C′D′=A′B′
∴CD=AD=AB,C′D′=A′D′=A′B′
∴==
∵=
∴==
∴△ACD∽△A′C′D′(“SSS”相似)
∴∠A=∠A′
∵∠ACB=∠A′C′B′=90°
∴△ACB∽△A′C′B′(“AA”相似)
证法二:由证法一得∠A=∠A′
∵=
∴△ACB∽△A′C′B′(“SAS”相似)
二、教师变得“懒”一点,学生就会聪明点
勤学苦教依然是教学在较长时间内存在的风貌,为师的总担心学生不会,怕学生出错,为此勤快的教师们喜欢不停地辅导,不辞辛劳地讲解,这对巩固知识与方法当然有利,可过多的束缚换来的结果是一个个唯唯诺诺、按部就班的听话的乖学生,这该是教育所不愿看到的,也是未来的忧虑。农村有句俗话:懒妈妈培养出勤孩子。有时教师还是学得“偷懒”点,在教学中适当放手,给学生多一点体验,多给他们自主的时间与空间,还给学生自主发挥天地,充分展示主动性、创造性。
“一个苹果与另一个苹果的交换,还是只得了一个苹果;一个想法与另一个想法的交流,得到的是两种想法。”为此,我把学生的不同解法,利用作业讲评时间,一一利用多媒体进行全班充分的交流,把个别的解法成为集体的解法,把单一的解法改写成多样解法;同时与同行交流,方法的辐射不仅在我所教班级,在其他班级也相继开花。在作业讲评时进行渗透教育:无论你在校内还是走向社会,无论自己年轻还是年长,无论对方身份、年龄与地位、学识,比自己方法恰当的或者与自己方法不同的,凡是比自己强的,都要欣然地去学习,只要这样我们才变得更强大。比如我,当我看到同学们的不同解答时,除了欣赏,我及时把他们的思维在反思环节中作了笔记,并储存到大脑中,希望作为恒久的美好记忆。
还学生自主,不要再只成为口头语,主体自主,师生共赢。
作者单位:浙江义乌市宾王中学
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