山东省2009年高考数学试题数列与不等式的解答题为： 数）的图像上。 （1）求r的值； （2）当b=2时，记b =2(log a +1)(n∈N )，证明：对任意的n∈N ，不等式 • •…• > 成立。
该题主要考查了等比数列的定义、通项公式，以及已知S 求a 的基本题型，并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题，以及用放缩法、构造函数法证明不等式。
解：（1）由题意S =b +r，
当n≥2时，S =b +r，
∴a =S -S =b (b-1)。
由于b>0且b≠1，
∴n≥2时，{a }是以b为公比的等比数列。
又a =b+r，a =b(b-1)，
∴ =b，即 =b，
∴r=-1。
（2）法一：（数学归纳法）由（1）可知a =2 ，
∴b =2n(n∈N )，
所证不等式为 • •…• > 。
①当n=1时，左边= > =右边，
∴n=1时不等式成立。
②假设n=k时，不等式成立，即 • •…• > 。
当n=k+1时，
• •…• • > • = = > = 。
∴n=k+1时不等式成立。
由①②可知，n∈N 时，不等式 • •…• > 成立。
法二：（放缩法）
所证不等式为 • •…• > 。
事实上：
• •…• = • •…• > • •…• = (2n+2)> 。
或者：令T = • •…• ，T ′= • •…• 。
∴T>T •T ′= • • • •…• • = =n+1，
∴T > 。
对任意n∈N ，不等式 • …… > 成立。
法三：（构造函数法）
令T = ，则T = ，
∴ = = >1，
∴T >T ，即T 为增函数。
∴T >T = >1，即T = >1，
• •…• > 。
对任意n∈N ，不等式 • … > 成立。
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