摘要: 本文通过分析图中变动部分与固定部分的关系,图中变动部分的特殊位置和固定部分之间的关系,以及运用面积计算的方法、三角相关知识、解析几何方法、综合分析等方法,探求了平面几何的定值问题。
关键词:平面几何 定值问题 探求
几何定值问题是不少学生难以理解与掌握的。因为这类问题虽然以证明题的形式出现,却又不知道证明结果是什么,所以学生不知从何下手。因此学生学习这类问题普遍感到困难,对这类问题的解决也缺乏信心。本文主要从以下几方面谈谈如何对几何定值问题的探求作一些归纳。
所谓几何定值问题,就是命题的条件中,一部分几何元素是固定的,而另一部分元素则可在一定范围内变动,但与此变动元素相关联的某种几何量(线、角、弧、面积)或其和、差、积、比等的值却保持不变,这就是定值。
证明定值问题,就是证明它可以用已知量的确定关系来表示。证明几何定值问题,关键有二:一是把这个“定值”设法探求出来,二是再把它转化成一般的证明问题。
下面谈谈探求几何定值问题常用的方法:
一、运动法
1.分析图中变动部分与固定部分的关系,以探求定值。
例1.过两圆的一交点P任作两直线,交一圆于A、B,交另圆于A′、B′。求证:AB和A′B′的交角为常量。(如图1)
分析:变动部分:割线APB′、A′PB,∠ASA′可以不断改变。若过点P分别作两圆的切线PM、PN,则∠MPN角(不变)。那么,∠MPN是否与∠ASA′相等呢?
证明:连结QB、QP、QA′,
则∠ASA′=∠ASB′=180°-(∠SAB′+∠SB′A)
=180°-(∠BQP+∠PQA′)=180°-∠BQA
=∠QBA′+∠QA′B=∠QPN+∠QPM
=∠MPN(定值)
2.从图中变动部分的特殊位置和固定部分之间的关系,探求定值。
例2.等腰三角形ABC两腰与直径在底边BC上的半圆相切于P、Q,MN是半圆的切线,切半圆于R,交两腰于M、N。求证:BM•CN为定值。(如图2)
分析:取MN的特殊位置,探求定值。令M趋近于P,则N趋近于A,PN是MN的极限位置。此时有MB•CN=BP•AC。而AB=AC,故BM•CN=BP•AB。连结OA,OP,在Rt△AOB中,OP⊥AB,由射影定理可得OB =BP•AB。由于OB是定值,所以BM•CN=OB (定值)。
下面证明一般情况下成立连结OP、OM、ON、OQ,于是∠1=∠6,∠2=∠3,∠4=∠5,
∴∠BOM+∠4=∠1+∠2+∠4= ×180°=90°。
又∠ONR+∠4=90°
∴∠BOM=∠ONR=∠ONQ。
在△BOM和△CON中,∠BOM=∠ONC,∠B=∠C。
∴△BOM∽△CON,有 = ,即BM•CN=OB•OC=OB (定值)
二、计算法
1.运用面积计算方法探求定值。
例3.(如图3),O为△ABC内任一点,AO、BO、CO的延长线交BC、CA、AB于D、E、F。
求证: + + 是定值。
分析:O为动点,所以OD、AD,OE、BE,OF、CF均为动线段,但已知三角形的面积不变,有关线段不变,所以可通过面积计算的方法,边计算边证明。
证明:设△BOC的面积为S ,其他类同。作OG⊥BC于G,作AH⊥BC于H。
∵△ODG∽△ADH,
∴ = 。
又 = = = (1)
同理 = (2)
= (3)
由(1)+(2)+(3)得 + + = =1(定值)。
2.运用三角相关知识探求定值。
例4.如图4,正三角形ABC,P是△ABC外接圆上的任一点。求证:PA +PB +PC 为定值。
分析:平方和(差)的定值问题一般用计算方法。计算过程常用勾股定理、余弦定理、正弦定理、面积公式、中线定理、圆幂定理等等。这里我们根据条件用余弦定理加以计算。
探求:当P取到点A时,有PA +PB +PC =AB +AC =6R (定值)。
下面证一般情况下成立:
不妨设点P在 上,易知PA=PB+PC。
故PA +PB +PC
=(PB+PC) +PB +PC
=2(PB +PC +PB•PC)
=2(PB +PC -2PB•PCF•cos120°)
=2(PB +PC -2PB•PC•cos∠BPC)
=2BC =6R (定值)。
3.利用解析几何方法探求定值。
例5.由定圆O外一点P引任意割线PAB(不过圆心)。
求证:tg ∠AOB•tg ∠BOP为定值。
分析:选定适当的坐标系,把问题转化为一个有条件的代数式或三角式去解决。
证明:取过O,P的直线为x轴,圆心O为原点,建立直角坐标系(如图5)。P,A,B的坐标如图所示,a为定值。
∴tg •tg = • = =
= (1)
设直线PAB的方程为y=k(x-α),k为斜率。代入圆O的方程x +y =r ,得x +k (x-α) =r ,即(1+k )x -2ak x+a k -r =0
∴x +x = ,x •x = 。
故r ±(x +x )r+x x =r ± r+
= = 。
代入(1)得tg •tg = = (定值)。
三、综合分析法
有不少题目单独用上述二种方法并不方便,我们可以采用综合分析的方法。此法特点首先是分清定动,然后根据已知条件和有关定理等变量用已知量的函数式来表示,从而解决问题。
例6.在等腰三角形ABC的底边上任取一点D,过D作BC的垂线和两腰或其延长线相交于E,F,则ED+FD为定值。
分析:已知等腰三角形,ED,FD为变量。如果能用已知等腰三角形的有关元素和有关角的函数来表示,问题即迎刃而解了。
证明:如图6,设∠B=∠ACB=∠α,
则FD=CD•tgα,ED=BD•tgα,
∴ED+FD=(CD+BD)•tgα=BC•tgα(定值)。
总之,定值问题较一般问题需要多思考一步,解这类问题有利于巩固我们所学的基础知识,提高思维能力。我们可以通过探讨,寻找这类问题的解题规律。
参考文献:
[1]朱德祥,朱维宗编.初等几何研究[M].高等教育出版社,2003.1,第2版.
[2]陈明耀编.中学数学中的定值问题[M].天津科学技术出版社,1985.8,第1版.
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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