摘要： 本文主要讲述如何运用构造法解决数学问题。通过分析、观察、联想构造出我们熟悉的函数、方程、模型等，使问题的难点转变得简单。 关键词： 构造法 解题 应用 增函数
构造法是运用数学的基本思想，经过认真观察、深入思考，根据需要与可行性构造出题设条件所没有的函数、方程、模型等以沟通题设条件与待求或待证结论的数学方法。其内涵十分丰富。基本方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题。
通过构造法解决数学问题，能够培养学生观察、分析、联想的思维方法及创造性思维能力。下面通过举例说明用构造法解题的一般思想。
一、构造函数
例1.求证： ≤ ，（a，b∈R）。
分析：上述不等式中的两个式子 ， 可看成同一个函数f（x）= ，（x≥0），在|a+b|，|a|+|b|的值。
解：构造函数f（x）= （x≥0）。
先研究f（x）在［0，+∞）上的增减性，设0≤x ＜x ，
f（x ）-f（x ）= - = ＞0
∴f（x）在［0，+∞）上是增函数。
而|a+b|≤|a|+|b|
∴ ≤
说明：该题的常规解法是分类讨论或平方去掉绝对值，而这里我们通过构造单调的递增函数f（x）= ，x∈［0，∞）使问题简单化。
二、构造方程
例2.设实数x，y，z满足x -yz-8x+6=0y +z +yz-6x+5=0，求x的取值范围。
分析：方程组中有三个未知量x，y，z，而只求x的取值范围，可先设法消元（用x表示y，z）。
解：由
x -yz-8x+6=0
得
yz=x -8x+6①
由
y +z +yz-6x+5=0
得
y +z +yz=6x-5②
式②可化为
（y+z） =6x-5+x -8x+6
得
y+z=±（x-1）③
（由①，③可联想到一元二次方程根与系数的关系，从而构造一个一元二次方程。）
由①，③可知y，z是一元二次方程m ±（x-1）m+x -8x+6=0的两根。
又x，y，z∈R，
∴该方程必有实数解，从而△≥0，
即（x-1） -4（x -8x+6）≥0
可求得
≤x≤
说明：根据题设条件构造出与所求结论相关的方程，易于求解。
三、构造模型
例3.已知 + =1，求证： + =1.
分析： + =1与椭圆标准方程很相似。
证明：构造椭圆 + =1，
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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