摘 要： 高一、高二课程较紧，复习的时间少，课改后数学知识又分为不同的模块，数学知识较为分散，这就容易形成思维定势。思维定势在高三数学总复习中的负面影响尤为突出，受思维定势的影响而产生的解题错误有许多。在教学中可通过比较正解与错解，帮助学生从思维定势中走出来，使学生的思维更深刻，从而提高学生的数学素质和创新精神。
关键词： 数学解题 思维定势 负面影响 对策
在高一和高二数学新课的教学过程中，总是突出本节内容重要性和某种方法的优越性，并且配备的相应的练习、习题往往只与某种单一的解题方法有关，而且高一、高二课程比较紧，复习的时间少，课改后数学知识又分为不同的模块，使数学知识较为分散，这就容易形成解决某类问题时总采用相应的固定方法的思维定势。
思维定势是指人们在较长一段时间的实践中形成的一种习惯了的思维方向和方法。这种相对固定的思路在分析问题、解决问题的过程中存在着两面性。其积极的一面是有章可循的，学生容易掌握，并且在之后学习类似的新知识时得以较快地理解；其消极的一面是学生往往摆脱不了机械记忆和被动模仿的束缚，因循守旧，甚至出现负面影响。这不利于提高学生分析问题和解决问题的能力。长此以往，则缺乏创新意识和创新能力。
在高三数学总复习中，思维定势的负面影响尤为突出。比如学生遇到直线和圆锥曲线的位置关系的题目时，都是不加思考地把直线方程代入圆锥曲线方程，得到一元二次方程后再用韦达定理，而有时此法根本行不通。这种因思维定势的影响而产生错误有许多，因此，消除思维定势所带来的负面影响，不但可以提高三数学总复习的效果，更重要的是有利于培养学生的数学素质和创新精神。下面从三个方面进行讨论。
1.揭示本质，克服思维定势中的惰性状态，培养思维的深刻性。
对于数学概念，不能只停留在表面的语言叙述、符号和图形，应揭示其本质属性（内涵）；而对于公式，定理也不能只知其形，不究其本。特别是对于因类似而容易混淆的概念，公式，定理，更要抓住其实质。看下面两题：
①《必修4》P147第9题：已知函数y=（sinx+cosx）+2cosx，求它的最大值与最小值.
②（2005年全国卷I）当0＜x＜时，函数y=的最小值为（ ）
A.2 B.2 C.4 D.4
对于第①题要用到倍角公式：cosx=得y=2+sin2x+cos2x。通过学习这个公式并多次练习后，学生就找到规律：三角遇平方就降幂。对第②题学生会条件反射地用倍角公式：sinx=得y=，要进行下去就只好利用导数或直线的斜率，把问题复杂化了。这就是思维定势产生的负面影响，数学解题最怕生搬硬套。第②题略解如下：
y===4tanx+≥4
解数学题时应多想几步，这和下围棋是同样的道理，“棋高一着”往往只是比对手多看一步，这就需要克服思维定势中的惰性状态，培养思维的深刻性。
2.多方联想，克服思维定势中的封闭状态，培养思维的广阔性。
联想是由一事物想到另一事物的思维活动，是头脑中各种数学形象的联系，是由一个意象（数学形象）联系另一个意象的过程，或者是由一个已知意象唤起另一种意象。通过分析题意，看到条件与结论中蕴含着一些似曾相识的内容，包括已经学过的定义、定理、公式、性质、图像等之间有何联系，这就需要多方联想。如在复习《函数与方程》一节中有这样一道题：“求方程lnx-x+1=0的实数根的个数.”许多学生是这样解决的：先把方程变为lnx=x-1，然后在同一坐标系下分别画出两个函数图像，再用数形结合得出2个实数根的错误结论。为了让学生知道他们出错的原因，我用《几何画板》作出正确的图像如下：
如上图可知：实际上g（x）=x-1是f（x）=lnx的切线，因此g（x）=x-1和f（x）=lnx只有一个交点（1，0），即方程lnx-x+1=0的实数根只有1个。而用手和笔是很难画出如此精确的图像的。数形结合思想是高中数学的重要思想方法，教师上课时往往会强调它的重要性并要求学生反复练习，这可能会产生思维定势。上面的例子这就是思维定势产生的副作用，只单向固定思维，不重视多向思维，也就是说思维进入封闭状态。运用数形结合思想分析解决问题时，要注意由于图像不能精确刻画数量关系所带来的负面效应。考虑另外的方法，从方程的实数根联想到函数的零点，就找到解决问题的入口。构造函数f（x）=lnx-x+1，此函数的图像用高中的知识不易画出，于是想知道它的变化趋势即函数的单调性，所以又联想的导数，那么正解是：
令f（x）=lnx-x+1，定义域为（0，+∞），
由f′（x）=-1＞0得0＜x＜1；f′（x）=-1＜0得x＞1.
在f（x）上（0，1）为增函数，在（1，+∞）上为减函数，在x=1处有极大值f（1）=0，
原方程只有一个实数根x=1.
联想是由一个意象通向另一个意象的桥梁，它不但能使人们头脑中的意象不断丰富，而且能克服思维定势中的封闭状态，培养思维的广阔性。
3.发挥想象，克服思维定势中的保守状态，培养思维的创造性。
想象是指在某种意象（引发物）的启发下，通过一系列联想来检索已储存的意象，再进行加工分解，反复探索，结合相关的知识而构想出新的意象（创造物）的过程。爱因斯坦的相对论、牛顿发现万有引力都是因为有了想象力。想象力对发明创造起了重要作用。如中国人宋有洲设计发明的上层载客下层通车不用停车场的“立体快巴”在世界上引起轰动，这项发明在今年的北京科博会上首度公开亮相后就一炮走红，还登上了《纽约时报》的封面。美国网友惊呼：“中国人太有想象力了，美国创新能力走下坡路，已被中国‘打败’。”丰富的想象力对学好高中数学也起了重要作用。
例如：两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个
此题是我所在学校高三总复习的一道阶段考试题，学生大多数选A，理由是：这个几何体的六个顶点都与正方体的六个面的中心重合，这样就只有1个，学生把此几何体固定成正八面体。也就是思维出现了定势，把问题想得太简单，缺乏空间想象能力。正解如下：
作平行于底面的中截面，如上图2，再作此正方形的内接正方形，显然有无穷多个内接正方形（因点A可以上下移动），且内接正方形的边长都不相等，于是正方形的面积也都不相等，最后让几何体的上下两个顶点与正方体的上下两个面的中心重合，这样所得的几何体的体积就有无穷多个。对比正解和错解，可以发现不仅考虑问题应全面，而且要发挥空间想象能力。教师教学时应引导学生深入探究，合理想象，克服思维定势中的保守状态，培养思维的创造性。
因此教师要鼓励学生大胆地发挥想象，克服思维定势中的保守状态，培养思维的创造性。
当然，不应只是在高三数学总复习中，而应在高一、高二的教学中，在充分发挥思维定势积极作用的同时，还要注意克服思维定势的负面影响，提出某种方法、“模式”的使用条件、使用范围，甚至局限性。当学生出现因思维定势产生的错解时，应通过比较正解与错解，帮助学生从思维定势中走出来。充分发挥学生在他们这个年龄丰富的想象力，应该拒绝那种“对题型，背套路”式的解题策略。在每章的复习课、习题课上，适当配备一些综合性习题，以加强各章知识与方法的纵向及横向联系，把培养学生“具体问题具体分析”的习惯和综合解题的能力贯穿于数学教学的全过程中。
参考文献：
［1］波利亚（Polya）.数学与猜想.
［2］斯根普（R.Skemp）.学习数学的心理学.
［3］叶澜.中国教师新百科中学教育卷.2002.8.
［4］王忠.解析立体几何中的创新试题.中学数学研究，2007，（2）.
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