2011年高考数学天津卷（理）整体难度偏大，但试卷中也有不少亮点试题，笔者比较欣赏其中的第18题（以下简称为试题18）.� 试题18：在平面直角坐标系xOy中，点P(a,b)(a>b>0)为动点，F�1,F�2分别为椭圆x�2a�2+y�2b�2=1的左右焦点．已知△F�1PF�2为等腰三角形．�
（Ⅰ）求椭圆的离心率e；�
（Ⅱ）设直线PF�2与椭圆相交于A,B两点，M是直线PF�2上的点，满足�AM�•�BM�=－2，求点M的轨迹方程．�
试题设问巧妙，梯度合适.特别是第（Ⅱ）小题求轨迹方程，命题构思有所创新.具体地说，该题有如下特点：�
[HTH]1.设问巧妙，梯度合适�[HT]
试题18的亮点和难点主要集中在第（Ⅱ）小题，但第（Ⅰ）小题设计也非常精巧.命题者构造“△F�1PF�2为等腰三角形”这一条件，设计了第（Ⅰ）题：求椭圆的离心率.这个问题条件清晰，容易入手.结合图形容易判断等腰三角形中应该是F�1F�2与PF�2这两边相等（∠PF�2F�1为钝角），由此可直接得到关于a,b,c的等式，解出离心率e.从而考生不至于走弯路，降低了解题的门槛.�
[HTH]解[HT]：（Ⅰ）如图1，由条件知，|F�1F�2|=|PF�2|，即�
[TPSX1.tif,BP][TS(1][JZ][HT6H]图1[TS)][HT]
2c=�(a－c)��2+b�2，平方化简可得a�2－ac－2c�2=0，则a=2c，a=-c(舍).故e=12.�
第（Ⅱ）题求轨迹方程则难度加大，这有利于区分.试题由易到难，梯度合适.�
[HTH]2.打破常规，形式新颖�[HT]
2011年高考解析几何试题中，轨迹问题可以说又成为一大热点，除了天津（文、理）外，还有全国卷Ⅰ（理）、江西卷（理）、安徽卷（文、理）、湖北卷（文、理），其中的解析几何试题都是以轨迹问题为背景命制的.但是，由于轨迹试题司空见惯，若无创新，则容易走进陈题套路之中.比如，湖北卷、江西卷（理）和安徽卷（文）的解析几何试题，由于是以同一个熟知的轨迹问题――“平面内与两定点连线的斜率之积等于常数的点的轨迹”为背景，因而不幸“撞车”，缺乏新意.�
同样是轨迹问题，天津卷作了大胆的尝试.�
试题18第（Ⅱ）小题所求轨迹之动点M是这样生成的：设直线PF�2与椭圆相交于A,B两点，M是直线PF�2上的点，满足�AM�•�BM�=－2.�
由于点P是动点，因此a，b的值是变化的，椭圆是动椭圆，弦AB也是变动的，M随之变动.�
由椭圆变动（离心率固定）产生相应的动点轨迹问题在以往的高考题中并不多见，试题18打破常规，令人耳目一新，是一道颇具特色的轨迹试题.�
[HTH]3.解法多样，难而路宽�[HT]
如上所述，因试题18所求轨迹问题比较少见，求解过程自然增加了不小的难度.不过求动点轨迹方程的思路清晰，其难点更多来自于运算方面.�
[JP+1]由于试题18经精心设计，可求得直线PA的倾斜角为�60��°�；而且A点恰为椭圆的顶点（如图2），从而简化了求解过程中的运算.特殊位置（点A）及特殊角（PF�2的倾斜角）也使得解法丰富多样.试题虽有难度，但路还是比较宽，足见命题者构思之巧妙.[JP]�
[TPSX2.tif,BP][TS(][JZ][HT6H]图2[TS)][HT]
这里介绍一种不同于试题18参考答案的解法.[FL）][HJ][WT]
[LM]
[FQ（20。46，ZX-W]
[CDF46]
[WTBX]
[HTH]解[HT]：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a=2c，则b=3c.�
直线PF�2的斜率为k=ba－c=3.�
可设直线方程为y=3(x－c).[JY]①�
代入椭圆方程得x�2a�2+3�(x－c)��2b�2=1，即�
x�24c�2+�(x－c)��2c�2=1，化简得5x�2－8cx=0，�
解之，得x�A=0，x�B=8c5.�
设M(x,y)，则其坐标满足①.�
由题设�AM�•�BM�=－2知，M在线段AB上，即有0＜x＜8c5,且|AM|•|BM|=2.�
因AB的倾斜角为�60��°�，结合图2可知,|AM|•|BM|=2x•2(8c5－x)=2.�
化简得2x�2－16c5x+1=0.[JY]②�
由①②消去参数c就得所求轨迹方程是18x�2－16[]3xy－15=0(x>0).�
与试题提供的参考答案直接用向量数量积的繁杂运算相比，上述解法由于充分地利用了图形的特殊性，数形结合，从而大大简化了运算.基于试题18的精心设计，我们才可能利用图形特征得到这一简洁解法.�
[HTH]4.美中不足，轨迹陌生�[HT]
试题18最后求得的轨迹方程为18x�2－163xy－15=0(x>0)，其图形是双曲线的一支.由于高中阶段学生未曾接触过这种非标准型的双曲线方程，所以求得的轨迹对学生而言是陌生的.虽说这仍属于曲线与方程范畴内的知识，并未超纲，但由于是陌生的轨迹，其方程又不简洁，考生即便求出了轨迹方程仍会感觉心里没底.再者，对于求轨迹方程问题，本应验证其纯粹性和完备性，但由于轨迹图形不明，考生对此很有可能是不了了之.�
上述小小的缺陷显然无法弥补，但瑕不掩瑜，仍不影响此题成为一道经典试题.
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