填空题是高考的重要题型，由于填空题不像选择题一样有选择支的暗示，又不像解答题一样要过程，所以对填空题要求似乎更高——准确是要求之一，另外就是速度.但往往填空题中也有一些难题，为了更好地适应新颖问题，我们选取几道富有挑战性的填空题加以分析研究，希望对大家解答填空题有帮助.
例1．设集合A={a1,a2,a3,a4}，若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B={-1,3,5,8}，则集合A= ．
解析：显然在A的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以3(a1+a2+a3+a4)=(-1)+3+5+8=15，故a1+a2+a3+a4=5，于是集合A的四个元素分别为5-（-1）=6,5-3=2,5-5=0,5-8=-3，因此A={-3,0,2,6}.
点评：整体考虑，为我们的求解打开了一扇窗.
例2．已知函数f(x)的定义域为R，f(0)=0，f(x)+f(1-x)=1，f(■)=■f(x)，且当0≤x1≤x2≤1时，有f(x1)≤f(x2)，则f(■)的值为_______.
解析：f(0)=0, f(0)+f(1)=1, 得f(1)=1.
在f(x)+f(1-x)=1中令x=■, 得f(■)＝■，令x=2, 得f(2)+f(1)=1, f(2)=0.
由于f(■)=■f(x)， 所以f(■)=■f(■)=■,
f(■)=■f(250)=■f(■)=■f(■)=■,
f(■)=■f(1)=■,
f(■)=■f(■)=■f(■)=■f(■)=■f(■)= ■,
而 ∵ ■＜■＜■， ∴■= f(■)≤ f(■)≤ f(■)= ■，
∴f(■)=■.
点评：本题是一个有难度的问题，挖掘f(■)=■， f(■)=■，利用夹逼法是解决问题的关键.
考查目标：夹逼法，特殊与一般的方法，较强的思维能力.
例3．对于连续函数f(x)和g(x)， f(x)-g(x)在闭区间[a,b]上的最大值称为f(x)与g(x)在闭区间[a, b]上的“绝对差”，记为■(f(x), g(x)). 若■(■x3, ■x2+2x-m)=■,则m= .
解析：令t(x)=f(x)-g(x)=■x3-(■x2+2x-m), t′（x）=x2-x-2=(x-2)(+1),可知当x≥2时， 函数t(x)单调递增，
所以当x∈[2，3]时， tmax(x)=t(3)=m-■, tmin(x)=t(2)R=m-■.
当m-■＞0时，也有m-■＞0，此时,
f(x)-g(x)max=t(3)=m-■=m-■=■?圯m=■.
当m-■＜0且m-■＜0，即m＜■时，
f(x)-g(x)min=t(2)=m-■=■-m=■?圯m=0.
当m-■＞0且m-■＜0时，不可能.
所以m=0或m=■.
点评：理解新概念，转化为我们熟悉的问题是解题的关键.
例4．在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：
注：油耗=■，可继续行驶距离=■，平均油耗=■.
从上述信息可以推断在10∶00—11∶00这1小时内 (填上所有正确判断的序号).
①行使了80公里；
②行使不足80公里；
③平均油耗超过9.6升/100公里；
④平均油耗恰为9.6升/100公里；
⑤平均车速超过80公里/小时．
解析：实际用油为7.38.行驶距离为＜■×100=76.875，所以①错误，②正确.
设V为已用油量，△V为一个小时内的用油量，S为已行驶距离，△S为一个小时内已行的距离，则
■=9.5,■=9.6, 得V+△V=9.6S+9.6△S，
9.5S+△V=9.6S+9.6△S，△V=0.1S+9.6△S，■=■+9.6＞9.6.
所以③正确，④错误.⑤由②知错误.
故应填上②③.
点评：此题考查考生的阅读能力和代入公式的计算能力．
例5．如图，某药店有一架不准确的天平（其两臂不等）和一个10克的砝码.一名患者想要20克中药，售货员将砝码放在左盘中，将药物放在右盘中，待平衡后交给患者；然后又将药物放在左盘中，将砝码放在右盘中，待平衡后再交给患者.设患者实际购买药物为m克，则m________20克（填“> ”“a），第一次、第二次称得的药物分别为x,y克，则：10b=xa,yb=10a,从而m=x+y=■+■≥2■=20,当且仅当■=■，即a=b 等号成立 . ∵a≠b ，∴m>20克，故应填填“>”.
点评：凭感觉“药店不吃亏”，填“ 解析：把对角面A1C绕A1B旋转，使其与△AA1B在同一平面上，连接AD1，则在△AA1D中，AD1=■=■，为所求的最小值．
点评：转化在同一平面，利用两点之间线段最短是解决问题是关键.
例8．图（1）为相互成120°的三条线段，长度均为1，图（2）在第一张图的线段的前端作两条与该线段成120°的线段，长度为其一半，图（3）用图（2）的方法在每一线段前端生成两条线段，长度为其一半，重复前面的作法至第n张图，设第n个图形所有线段长之和为an，则an= ．
解析：先根据题意可得a1、a2、a3、a4的值，找到其中的关系，进而可得到数列的通项公式．a1=3，a2=3+3×2×■=6， a3=3+3×2×■+3×22×（■）2=9， an-an-1=3，
∴数列{an}为以a1=3为首项，3为公差的等差数列，an=3+(n-1)×3=3n.
点评：本题主要考查数列通项公式的求法，数列的通项公式在数列学习中占据很重要的地位，要强化学习．
例9 ． 将n2（n≥3）个正整数1，2，3，…，n2填入到n×n个方格中，使得每行每列及每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.如图就是一个3阶幻方，定义f(x)为n阶幻方一条对角线的和，例如f(3)＝15，那么f(4)= .
解析：从整体观察，我们发现每行，每列及每条对角线的和就是这n2个正整数和的■，所以无论这个n为多少都可以求出f(n)＝■=■，而f(4)＝■＝34.
点评:深刻理解数学概念，掌握数学思想方法是会算的必要条件.
例10．某展室有10个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有 种.
解析：在第一问中，3件展品有A33有不同的排列，再用4块隔板插入3个展品空出的4个空位之中，有3种情况：一种是1,1,1,4，即其中一块隔板含有4个展台，其余各含1个展台，有C41种方法；另一种是1，1，2,3, 即其中一块隔板含有3个展台，还有一块含2个展台，其余各含1个展台，有C41C31种方法;再一种是1,2,2,2，即其中一块含1个展台，其余各含2个展台，有C41种方法.
故共有A33（C41+C41C31+C41）=120种方法.
在第二问中，含有3或4个展台的隔板只能放在头尾，故共有A33（C21+C21C31+C41）=72种方法.
例11．在平面直角坐标系中，定义d(P, Q)=x1-x2+y1-y2为两点P(x1, y1),Q(x2, y2)之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于的点的集合是一个圆；③到M(-1, 0), N(1, 0)两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；④到M(-1, 0),N(1, 0)两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线.其中正确的命题是____________.（写出所有正确命题的序号）
解析：到原点的“折线距离”等于1的点的集合{（x，y）||x|+|y|=1}，是一个正方形故①正确，②错误.
到M（-1，0），N（1，0）两点的“折线距离”之和为4的点的集合是{（x，y）||x+1|+|y|+|x-1|+|y|=4}，故集合是面积为6的六边形，则③正确.
到M（-1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合{（x， y）||x+1|+|y|-|x-1|-|y|=1}={（x， y）||x+1|-|x-1|=1}，集合是两条平行线，故④正确.
故答案为：①③④.
点评：先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．
创新，包括“新”在试题形式，如例题4，“新”在知识内容（例3，例8，例11）或者“新”在解题方法、研究方法（例1，例7）.面对这些创新性问题,一是要读懂题意,通过转化,化“新”为“旧“；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”.
( 作者单位：福建省永定县城关中学)
责任编校 徐国坚