“对称”在人们生活中普遍存在,它广泛应用于建筑艺术和环境美化等方面。“对称”是对应与相称的结合,是一种数学美的体现,在素质教育中“对称”是一种美育。“对称”问题一直又是高考的热点。而数学中的“对称”问题主要是在平面解析几何中的应用,平面解析几何中的“对称”问题主要包括中心对称和轴对称两种情况,在解决该类问题时,很多学生感到无从下手,主要是不知道对称点及对称曲线的求法,而有些问题从表面看好像与对称无关,而用对称来解决却比较容易,往往起到事半功倍的效果,下面主要介绍平面解析几何中的对称点和对称曲线的求法。
一、中心对称
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)关于点A(a,b)对称,则由中点坐标公式得a=,b=。特别地,当点A的坐标为(0,0)时,点P(x,y)关于点A对称点的坐标为(-x,-y)。若一条曲线与另一条曲线上任一对对应点满足这种关系,那么这两条曲线关于点A对称;若一条曲线上任一点关于点A对称的点都在该曲线上, 那么这条曲线关于点A成中心对称图形。
二、轴对称
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)及直线L(Ax+By+C=0),若满足(1)P1P2⊥L;(2) P1P2的中点在直线L上,则点P1 ,P2关于直线L对称;若一条曲线与另一条曲线上任一对对应点满足这种关系,那么这两条曲线关于直线L对称;若一条曲线上任一点关于直线L对称的点都在该曲线上, 那么这条曲线关于直线L成轴对称图形。在轴对称中,如果直线L的方程比较特殊,可以用特殊的方法求对称点的坐标及对称曲线的方程。主要有以下几种情况[设点P的坐标为(x,y)]。
1.当直线L:Ax+By+C=0的斜率不存在,即B=0时,直线L的方程可化为x=k,则点P关于直线L对称点Q的坐标为(2k-x,y), 特别地,当直线L为y轴时, Q的坐标为(-x,y)。
2. 当直线L:Ax+By+C=0中A=0时, 直线L的方程可化为y=h, 则点P关于直线L对称点Q的坐标为(x,2h-y), 特别地,当直线L为x轴时, Q的坐标为(x,-y)。
3.当直线L:Ax+By+C=0的斜率为±1时, 直线L的方程可化为y=±x+b, 则点P关于直线L对称点Q的坐标为[±(y-b),±x+b]。
4. 当直线L:Ax+By+C=0的斜率存在但不为±1时,设点P关于直线L对称点Q的坐标为(x1,y1),则:
(1) =
(2)A+B+C=0。解出x1与y1即得点Q的坐标。
如果已知曲线C的方程为f(x,y)=0,求曲线C关于直线L(或点A)对称的曲线D的方程,可设曲线D上任一点M的坐标(x,y),点M关于直线L(或点A)对称点N的坐标为(x1,y1),则点N在曲线C上,即f(x1,y1)=0,用以上介绍的求对称点的方法把x1,y1用x,y表示出来,代入的方程f(x1,y1)=0即可。
例1.(2003年上海高考题)在以O为原点的直角坐标系中,点A(4,-3)为△OAB的直角顶点,已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于零。
(1)求圆x2-6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程;
(2)是否存在实数a,使抛物线y=ax2-1上总有关于直线OB对称的两点?若不存在,说明理由;若存在,求a的取值范围。
解:(1)设 =(u,v),由||=2||及・=0得u2+v2=100,及4u-3v=0解得u=6,v=8(因为v-3>0),而= + = (u+4,v-3),所以点B的坐标为(10,5),所以直线OB的方程为x-2y=0。由条件可知圆的标准方程为(x-3)2+(y+1)2=10,得圆心为(3,-1),半径为,设圆心关于直线OB对称的点为(x,y),则-2=0,及=-2,解得x=1,y=3。故所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10。
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2)为抛物线上关于直线OB对称的两点,则:
-2=0,且=-2,而点P,Q在抛物线y=ax2-1上,所以y1=ax12-1;y2=x22-1。所以x1+x2=-, x1x2=。即x1,x2为方程x2+x+=0的两相异实根,由△=(-)2-4>0得a> 。
例2.一条光线从点A(-3,5)射到直线3x-4y+4=0后反射到点B(2,15),试求反射光线所在直线的方程。
解:设点A(-3,5)关于直线3x-4y+4=0的对称点为
C(a,b)则由 =- 及3×-4+4=0,可解得a=3,b=-3。
由反射光线所在直线经过点C(3,-3)与B(2,15),得所求直线方程为=
即:18x+y-51=0。
例3.自点A(-3,3)发出的光线L,射到X轴上,被X轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线L所在直线的方程。
解:因为圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=1,所以它关于X轴对称的圆的方程是: (x-2)2+(y+2)2=1……(1)
设光线L所在直线的方程为:y-3=k(x+3)(由题意可知斜率k存在)
则由题意可知光线L所在直线与方程为(1)的圆相切
从而有=1,解得k=-或k=-。
所以, 光线L所在直线与方程为:3x+4y-3=0或4x+3y+3=0。
说明:如果把本题改为求反射光线所在直线的方程L1,则可先求出点A(-3,3)关于X轴对称的点的坐标B(-3,-3),再根据L1实为经过B且与已知圆相切的切线来解。
总之,在对称问题中,中心对称主要是中点坐标公式的应用;而轴对称中主要注意对称轴方程Ax+By+C=0的斜率是否存在,斜率存在时是否为±1,根据不同的情况进行求解。
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