摘要:在平面解析几何教材中,关于对称问题比较零散,学生在学习过程中对通法的掌握有困难。本文通过对两类对称的通法总结,对曲线关于点的对称曲线和曲线关于直线的对称曲线的一般问题提供了常规思路和方法。给出了两组公式。
关键词:平面 ;解析几何;曲线;对称
中图分类号:G633文献标识码:A文章编号:1003-2851(2009)12-0137-01
在平面解析几何教材中,关于对称问题只是以个别例题形式给出,没有详细讨论。我在教学中,引导学 生给予归纳,使学生对其认识从点(个别习惯)上升到面(普遍),效果较好,现总结如下。
一、关于点的对称
1.任一点p(x、y)关于已知点M(x0,y0)的对称点p′(x1,y1)由中点公式有
2.已知曲线c:f(x,y)=0,它关于已知点M(x0,y0)对称的曲线c′的方程可由对称点公式求得。
设曲线C上任一点p(x,y),它关于M的对称点p′坐标是x"=2x0-x,y"=2y0-y,即:x=2x0-x′,y=2y0-y′,又f(x,y)=0。所以f(2x0-x",2y0-y")=0。
此为p"点满足的方程,即曲线C关于已知点对称的曲线C′的方程。
二、关于直线的对称
1.任一点p(x,y)关于已知直线1:AX+BY+C=0的对称点p′(x′,y′)满足:①pp′的中点M在直线1上,即:2.已知曲线C:f(x,y)=0关于已知直线1:Ax+By+c=0对称的曲线C′,它的方程由以下方法求得:在曲线 C上任选一点p(x,y),刚它关于1的对称点p′(x′,y′)有x=g(x",y"),y=h(x",y")
由于(x,y)适合f(x,y)=0所以有f「g(x",y),h(x",y")」=C,这就是(x",y")满足的方程,因此也是曲线C′的方程。
下面,我们来看几个例题。
1.已知直线11:x-3y+12=0,12:3x+y-4=0。点M(-1,2)经过M引一条直线1与11,12分别交于P,Q两点,若点p的坐标为(x1,y1),则x1-3y1+12=0①,而P点关于M(-1,2)的对称点为Q,所以Q坐标为(-2-x1,4-y1),而Q∈12有3(-2-x1)+(4-y1)-4=0②,由①②得x1=-3,y1=3,即P点坐标为(-3,3),经过PM两点的直线方程为:
2、已知椭圆C;x2+2y2+4x+12y+18=0和点M(1,1),求椭圆关于点M对称的曲线C′的方程。
解:设椭圆C上任一点为(x1,y1),它关于M对称的点为(x,y),则有x1=2-x,y1=2-y,因为(x1,y1)在C上,3、求曲线C:y=(x+1)2关于直线1:y=-x+8对称的曲线c′的方程。
解:在曲线上任选一 点P(u,v),则有v=(u+1)2。点P关于直线1的对称点为P′(x,y),由PP′中点在直线1上,即(y-9)2=-(x-8),此为所求曲线C′的方程。
4、自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被X轴反射,其反射光线与圆C:x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线所在直线的方程。
解法1:圆C关于x轴对称的圆C1的方程为(x-2)2+(y+2)2=1
设光线l所在直线的方程为y-3=k(x+3)。
由题目分析可知,直线l与圆C1相切,充要条件是圆心C1(2,-2)到直线l的距离等于圆C1的半径。即
故光线所在直线的方程为3x+4y-3=0或4x+3y+3=0。
解法2:A点关于x轴对称的点为A1,显然A1的坐标为(-3,-3),设反射光线A1T的方程为y+3=k(x+3).
由于入射线和反射线关于轴对称,故将上述方程中以-y代入y即得到l所在直线的方程,即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.
当然,对于一些特殊问题还可以简化。
例:求曲线C:(x+2)2+(y+3)2=13关于 直线a:
y=-x+8对称的曲线C′的方程 。
解:这是圆,根据性质,只需求出圆心C(-2,-3)关于y=-x+8的对称点C′(x1,y1)即可,代入方程组2(a)得x1=11,y1=10。
所以,C′的方程为(x-11)2+(y-10)2=13。
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