摘要:若在平面内一条线段MN的一侧有n个点A1、A2…… 在另一则有m个点B1、B2、B3……,且满足∠MA1N=……=∠MAnN,∠MB1N=∠MBmN且∠MA1N+∠MB1N=180°。则点A1、A2……An,B1、B2……Bn,M、N共圆。
关键词:平面;点;共圆
中图分类号:G633文献标识码:文章编号:1003-2851(2010)08-0139-01
若在平面内一条线段MN的一侧有n个点A1、A2…… 在另一则有m个点B1、B2、B3……,且满足∠MA1N=……=∠MAnN,∠MB1N=∠MBmN且∠MA1N+∠MB1N=180°。则点A1、A2……An,B1、B2……Bn,M、N共圆。
证明:不妨令m=2、n=2
在四边形MA1B1N中
∵∠MA1N+∠MB1N=180°
∴四边形MA1NB是圆内接四边形
即,M、A1、N、B1共圆
同理 ∵∠MA1N=∠MA2N
∴B1、M A2、N共圆
同理B2、M、A、N共圆
B2、M、A2、A共圆
∵ B1、A1、A2M、N共圆
B2、A1、A2M、N共圆
∴ B1、B2共圆
推论:若在平面内一条线段MN的则有n个点A1、A2、A3且∠MA1N=∠MA2N=……=∠MAnN,则这n+2个点共圆。
证明:不妨没n=2
在MN的另一侧作出与A1互补的角,
则问题转化为如上
可让角的顶点与A1、A2共圆,则命题论证。
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