摘要:在数学解题中,有时根据已知条件难以求解,但若能利用已知条件构造出相应的一元二次方程,利用根的定义解题,则十分简便,下面列举几例,仅供参考。 关键词:巧用;根的定义;解题
中图分类号:G633 文献标识码:A文章编号:1003-2851(2010)07-0190-01
在数学解题中,有时根据已知条件难以求解,但若能利用已知条件构造出相应的一元二次方程,利用根的定义解题,则十分简便,下面列举几例,仅供参考。
例1 已知5(a-b)+■(b-c)+(c-a)=0且a≠b。求■的值。
解:已知条件为(■)2(a-b)+■(b-c)+(c-a)=0
∴■是一元二次方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0的一个根,又此方程各项系数之和为零,故此方程另一个根必为1,由韦达定理有:
■+1=-■=■,■×1= ■。
所以,原式=■・■=(■+1)■=5+■。
例2 已知二次方程ax2+bx+c=0的二根之比为2:3,求证:6b2=25ac。
证明:设方程二根分别为2k,3k(k≠0),则
4ak2+2bk+c=0 (1)
9ak2+3bk+c=0(2)
(2)―(1)得,k=- ■(3)
把(3)代入(1)中得:6b2=25ac
例3 如果a是x2-3x+1=0的一根。求■的值。
解: ∵a是x2-3x+1=0的根,
∴a2-3a+1=0 ,即a2+1=3a
又由多项式除法有:
分子=(a2-3a+1)(2a3+a2+3a)-3a=-3a
∴原式=- ■=1。
例4已知■+■-1=0, b4+b2-1=0且■≠0,求■的值。
解:由根的定义和已知条件知■和b2是方程x2+x-1=0的二不等根,由韦达定理有:
■+b2=-1
∴原式=b2+■=-1
例5 已知a2+2a-1=0, b4-2b2-1=0且1-ab2≠0,求(■)1996的值。
解:由题设知a≠0, ∴给第一个方程中各项除以-a2有:
■-■-1=0
由已知条件1-ab2≠0,故有■≠b2
∴■和b2是一元二次方程x2-2x-1=0的二不等根。
∴■+b2=2,■・b2 =-1
∴原式=(b2+■+■)1996
=[(■+b2)+■]1996=(2-1)1996=1
例6 已知实数a≠b,且a2-(3+2■)a+1=0,(■+1)b2-(■+1) b=■-1=0,试求■+■之值。
解:给第二个方程各项乘以(■+1),得
b2-(3+2■)b+1=0
∴由已知条件, a、b是一元二次方程x2-(3+2■)x+1=0的二根,由韦达定理有:
a+b=3+2■,ab=1
∴原式=■=■
=(3+2■)2-2=15+12■
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