平均分组问题是排列组合的难点,也是高考的热点之一,学生往往辨析不清,糊里糊涂地就把题解错了。学数学就必须追根索源,现以一道小题为例探究这一类问题的本质。 把六本不同的书平均分成三堆,有多少种方法?
错解:第一步从六本书中取出两本有 种;
第二步从剩下的四本书中取出两本有 种;
第三步剩下的两本书作为一组。
故共有 种。
错因分析:六本不同的书不妨用A,B,C,D,E,F来表示,把上面的三步展开来看一下:
第一步第二步第三步
(1) ABCEDF
(2) ABDFCE
(3) CEABDF
(4) CEDFAB
(5) DFABCE
(6) DFCEAB
根据题意以上六种分法属于一种分堆方法,故计算方法扩大了六倍。
根本原因:分三步解决问题,根据两个基本基数原理“分步就是排序”,分了步就排了序,就像上面展示的那样,分了三步无形中在三个两本书之间排了顺序,此题仅仅是分堆,三个两本书之间的顺序应该除去,故正确结论是: =15种。
例一(05北京):北京《财富》全球论坛期间,某高校有14名志愿者参加接待工作,若每天早、中、晚三班,每班4人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排法种数是( )
A、 B、
C、 D、
解法:先从14个人中取出12人,把12个人平均分成三组,这三组再按早中晚排序,也就是说和上例不同的是三组之间要顺序,所以选A而不选C。又因为 中三个4之间已经有了顺序,故不用乘 ,所以不选D。而B选项中用的是 ,由题意可知每班的4个人之间不需要顺序,所以也不选B。
例二(06重庆):将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少一名,最多2名,则不同分配方案有()
A、30B、90C、180D、270
解:先把5名教师分成三组,是一个不完全平均问题,在平均分的部分产生的顺序要除去;再把三组教师分到三个不同的班里去,所以是:( =90。
例三(04福建):某校高一年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班且每班安排两名,则不同分配方案有_______。
解析:先把4名学生平均分成两组且两组之间要顺序有 ,再从六个班取出两个班有 ,所以有=90。
学数学理解是根本,理解概念、理解方法、弄清本质,一切才会得心应手。祝愿天下所有的学子热爱数学、学好数学。
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