【摘要】利用中值定理证明等式成立时，辅助函数的构造往往是证明等式成立的难点和关键，本文通过构造一个或多个辅助函数来说明这种方法。 【关键词】辅助函数 凑导法 常数k值法 乘积因子法
How To Structure Auxiliary Function For Proving Mean Value Equation
Dong junZhang yue
【Abstract】When proving equation by using mean value theore,and the structure of anxiliary function is usually an essential and difficult point. This article illustrates this method through structuring one or more anxiliary functions.
【KeyWords】Auxiliary function mean value equationMaking up derivative methodConstant k value methodProduct factor method
注：涉及拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明中值等式的命题时，一般需要构造两个或两个以上的辅助函数，这就需要读者熟练掌握各种凑导法的题型以及该题型的辅助函数是如何构造的。
2．常数k值法。一般待证等式中出现含ξ的抽象函数（或其低阶导函数）和a、f(a)与b、f(b)构成的等式，在构造函数时，若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通常用常数k值法来构造辅助函数。
具体构造步骤：先将待证等式中含ξ部分分离出来，令其为k，再将式中的端点值（a或b）改为自变量x，移项即为辅助函数F(x)，再利用中值定理或待定系
3．乘积因子法。对于某些要证明的结论往往出现函数的导数与函数之间的关系的证明，直接构造函数往往比较困难，将所证结论的两端都乘以或除以一个恒正或恒负的函数，证明的结论往往不受影响， （ 为常数）是常用的乘积因子法。
例：若 在 上可微， ，证明：存在 使得 。
分析：将待证等式中 改为 ，得 ，两边乘以 ，得： ，这使我们联想到 的分子部分即为上式。
取辅助函数 ，再利用罗尔中值定理即可得证。
证：取 易知 在 上满足罗尔中值定理条件
故 ，
Nj1构造函数是高等数学证明中常采取的技巧，在应用中值定理解决问题时，它更是起着化难为易，化未知为已知的桥梁作用，本文简单的介绍三种常用构造辅助函数的方法，希望有助于读者更好的解决有关微分中值定理中的证明。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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