摘 要： 恒成立问题一直以来都是高中数学中的一个重点和难点，这类问题没有一个固定的处理方法。恒成立问题能够很好地考查函数数列不等式等知识，以及转化化归等数学思想。因此涉及恒成立的问题越来越受到高考命题者的青睐。本文试将此类题的求解策略从四个方面进行小结。
关键词： 高中数学 恒成立问题 求解策略
恒成立问题一直是高中问题数学的重要内容。它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，在近几年越来越受到高考命题者的青睐，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。本文试将此类题的求解策略进行小结。
一、利用分类讨论思想直接处理
例1：已知函数f（x）=x-2ax+4在区间［-1，2］上都不小于2，求a的取值范围。
解：因为函数f（x）=x-2ax+4的对称轴为x=a，所以必须考查a与-1，2的大小关系，显然要分三种情况讨论。
1．当a≥2时，f（x）在［-1，2］上是减函数，
此时f（x）= f（2）=4-4a+4≥2，
即a≤，
结合a≥2，所以a无解。
2．当a≤-1时，f（x）在［-1，2］上是增函数，
此时f（-1）=1+2a+4≤2，
f（x）=f（-1）=1+2a+4≥2，
结合a≤-1，
即-≤a≤-1。
3．当-1＜a＜2时，
f（x）= f（a）=a-2a+4≥2，
即-≤a≤，
所以-1＜a≤。
综上1、2、3，满足条件的a的范围为：-≤a≤。
二、构造函数，利用单调性处理
例2：对于满足|p|≤2的所有实数p，求使不等式x+px+1＞p+2x恒成立的x的取值范围。
分析：多元不等式问题求解关键在于确定哪个量为主元。此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而若将p定位主元，则可转化为在［-2，2］内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。
解：不等式转化为（x-1）p+x-2x+1＞0，
设f（p）=（x-1）p+x-2x+1，
则原题转化为设f（p）=（x-1）p+x-2x+1＞0在［-2，2］上恒成立，
易得f（-2）＞0f（2）＞0，即x-4x+3＞0x-1＞0，
解得：x＞3或x＜1x＞1或x＜-1，
∴x＜-1或x＞3。
三、分离变量，借助不等式性质解决
例3：已知数列{a}中，a=6n-5（n∈N），设b=，T是数列{b}的前n项和，求使得T＜对所有n∈N都成立的最小正整数m。
分析：T＜恒成立?圳＞Tmax，问题转化为求T的最大值。若求出T的最大值，则问题迎刃而解。
解：依题可知b===（-），
故Ｔ=b=［（1-）+（-）+…+（-）］
=（1-）。
易知（1-）＜.
∴ 要使（1-）＜（n∈N）恒成立，必须满足≤，即m≥10.
例4：已知二次函数f（x）=ax+x+1对x∈［0，2］恒有f（x）＞0，求a的取值范围。
解： 对x∈［0，2］恒有f（x）＞0即ax+x+1＞0，变形为ax＞-（x+1）
当x=0时对任意的a都满足f（x）＞0，只须考虑x≠0的情况：
a＞，即a＞--
要满足题意，只要保证a比右边的最大值大就行。
现求--在x∈（0，2］上的最大值。
令t=，
∴t≥，
g（t）=-t-t=-（t+）+（t≥），
g（t）=g（）=-，
∴a＞-.
又∵f（x）=ax+x+1是二次函数，∴a≠0，
∴a＞-，且a≠0.
四、利用数形结合，直观处理
例5：不等式（x-1）＜logx在x∈（1，2）上恒成立，求a的取值范围。
分析：这种类型的不等式对高中学生来说直接求解是很困难的，所以一般来说采用数形结合的方法。
解：设y=（x-1），y=logx，如图所示。
要使对一切x∈（1，2），y＜y恒成立，
显然须a＞1， 且log2≥1。
∴1＜a≤2.
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