摘要： 神经网络的非线性映射特性、信息的分布存储、并行处理和全局优化能力，特别是其高度的自组织和自学习能力，使其成为故障诊断的一种有效方法，已在许多实际系统中得到了成功的应用。神经网络技术的出现，为故障诊断问题提供了一个新的解决途径，特别是对于在实际中难以建立数学模型的复杂系统，神经网络更显示了其独特的作用。应用神经网络进行故障诊断主要是应用神经网络产生的残差并进行残差分析以及用神经网络进行故障模式识别。
关键词： 径向神经网络 故障诊断 观测器
一、径向神经网络
在众多的神经网络中，径向神经网络是一种结构简单、训练速度快并且具有最佳逼近性能的多层前向神经网络。多年来，人们对径向神经网络进行了大量的研究，并成功地应用于故障诊断领域。主要原因有：
（1）它能存储有关过程的知识，直接从历史故障信息中学习，可以根据对象历史数据训练网络，然后将此信息与当前测量数据进行比较，比确定故障的类型。
（2）它具有滤除噪声即在噪声的情况下得出正确结论的能力，可以训练人工神经网络来识别信息，使其在噪声环境中有效地工作。
（3）它具有很强的非线性逼近能力。
（4）它具有分辨故障原因及故障类型的能力。
径向神经网络（Radial Basis Function Neural Network，RBFNN）是20世纪80年代提出的一种以函数逼近理论为基础的前向神经网络，其设计思想就是将径向基函数（RBF）应用于神经网络作为激励函数。不同于BP网络的全局逼近性能，RBF是一种局部逼近网络，对于每个训练样本，它只需对少量的权值进行局部的修正，因此速度很快，具有最佳的逼近性能。RBF神经网络的机构与多层前向网络结构类似，其拓扑结构如图所示。
RBF神经网络是由输入层、隐含层和输出层构成的三层前向神经网络。第一层为输入层，由信号源节点组成，其单元个数是由所描述问题的需要决定的；第二层为隐含层，是由一组径向基函数构成的非线性映射层，这样就将输入矢量直接映射到隐含层空间，当径向函数的中心确定以后，这种映射关系也就确定了；第三层为输出层，提供从隐单元空间到输出空间的一种线性变换。其中隐含层是网络的核心，隐含层神经元的变换函数是一种局部分布的对中心点径向衰减的非线性函数，利用径向基函数作为隐含层神经元的基构成隐含层空间，实现输入矢量到输出矢量的映射变换。这里主要研究以高斯函数为变换函数的径向基神经网络。
RBF神经网络的输入与输出之间可认为是一种映射关系：f（x）:R →R
其中式中，i=1，2，…，n为隐含层节点数，n（y ，…，y ，…， y ）∈R 表示神经网络的输出，x∈R 为网络输入矢量，w∈R 表示输出权值，g∈R 为径向基函数，g 表示隐层第i个神经元的输出值，w 表示第i个神经元到输出层第j个神经元的权值。
式中，m ∈R 为径向基神经元的中心，r ∈R为径向基神经元的宽度，‖.‖表示2-范数或欧式距离。
径向基神经网络的权值、中心与宽度是径向基神经元的三个重要参数。构造和训练一个RBF神经网络的就是要是网络通过学习，确定出每个隐层神经元基函数的中心m 、宽度r 及隐层到输出层的权值w，从而可以完成所需的输入到输出的映射。RBF网络的三部分参数在映射中所起的作用是不同的。隐含层的径向基函数完成的是从输入空间到隐含层空间的非线性映射，而隐含层到输出层的权值是实现从隐含层空间到输出空间的线性映射，所完成的任务不同，决定了参数的训练方法和策略不同。
径向基神经元网络的学习可以看成是误差准则下，以误差函数f（x）为目标函数的无约束最优化问题。
式中，x表示网络的三个待求的参数（中心、权值与宽度）；y 为网络输出，y 为期望输出，N为样本总数。
对于解决无约束最优化问题，通常采用迭代的方法进行计算，在给定初值x 后，按照等式
逐步修改直至收敛于解，其中为迭代步数，a 为学习速度，p 代表搜索方向。当用上式进行迭代时，函数f（x）应该在每次迭代时都减小。研究结果显示，最简单的下降方向就是沿负梯度的方向，此时
式中，g 为f（x）在x 处的梯度，这样我们就得到了最速下降的优化算法：
有上面的推导可以看出，算法的关键是梯度的计算，下面给出梯度的计算公式。为了便于推导计算，将RBF网络的数学模型表示如下：
式中，s=1，2，L，h为输出变量的个数；i=1，2，L，n为隐含层的个数；j=1，2，L，N（N为样本总数）；k为迭代步数；y 为第s个输出；w 为输出层的权值；m 为神经元的中心；r 为神经元的宽度；x（j）为输入样本。
定义如下的误差函数：
式中，y 为网络输出，y 为期望输出。
根据上述式子，输出权值的梯度为： =-e （k）Q （k）（11）
具体步骤为：
（1）随即给定一组参数x ∶m ，r ，w ，并给定迭代终止精度ε的值。
（2）令RBF网络隐含层数目n=n ，n =l+m为任意小的正整数（其中l和m分别表示系统输入输出的维数）。
（3）根据所给定的样本，利用梯度法计算网络的三个参数值，根据参数值计算网络的输出。
（4）根据样本数据和网络输出计算误差e（n），如果‖e（n）‖≤ε转到下一步，否则让n=n +△n（其中n ＞0为整数），判断是否n≤n （n 为预先设置的最大隐含层数目），满足条件则转上一步，否则转下一步。
（5）记录此时的n，m ，r ，w ，则得到RBF网络隐含层的数目、网络的中心、宽度和权值。
上述是基于最速度下降梯度法的径向神经网络算法可以看出，网络结构的构建与参数调整可以同时完成，具有学习时间短、计算量小等特点。
二、神经网络观测器的建立
通常情况下，非线性系统的状态空间模型可以表示如下：
x（k+1）=f（k，x（k））+g（k，x（k））u（k）+v（k）（14）
y（k+1）=h（k+1，x（k+1）+σ（k+1））（15）
式中，k为离散时间变量；x（k）∈R 为状态变量；u（k）∈R 为输入变量，y（k）∈R 为输出向量；f:R →R ，h:R →R 为映射函数；v（k）和σ（k）分别为噪声和模型不确定性函数。
根据RBF网路的最佳逼近性能，可以建立神经网络辨识模型，对于任意小的ε，存在RBF网络逼近于系统的实际输出：
e=‖y -y ‖＜ε（16）
式中，y 为网络输出，y 为期望输出，ε为输出残差。当无故障时，残差信号由状态估计的误差和噪声所决定，如果状态估计的误差足够小，则残差通常趋近于零。当传感器故障时系统的状态方程变为：
x（k+1）=f（k，x（k））+B（k，x（k））u（k）+v（k）（17）
y（k+1）=h（k+1，x（k+1））+σ（k+1）+D （k）（18）
式中，D ∈R 为传感器故障分配矩阵，此时输出残差r（k）发生了很大的变化，所以根据残差向量的改变进行传感器的故障监测与隔离。
在构造出系统的观测器之后，就可以将其用于系统的故障隔离。在本文中神经网络观测器是作为一个无故障的正常的模型来使用。基于神经网络的故障诊断系统结构如图所示：
三、故障诊断
基于神经网络的系统故障诊断的基本思想就是建立系统的辨识模型，根据模型输出和实际系统输出的残差进行故障检测与隔离，所以建立系统的辨识模型是研究的重点与核心。
针对于传感器，使用如下的方法来进行故障诊断；
由于神经网络具有很强的自学习能力，因此可以通过学习来获得传感器测量值，从而为故障诊断提供有效的信息。
首先，应用传感器组中的任一个输出信号和系统输入作为神经网络的输入信号，将所有传感器的输出信号作为神经网络的输出信号，构成输入样本集合，应用RBF网络离线训练如下m个神经网络模型：
y （k）=F ［y （k），u（k）］，i=1，2，…，m（19）
然后应用神经网络观测器可获得m组，，…，，其中=［，，…，］ 是第i个观测器得到的，网络的输入和训练时的输入相同。在系统正常运行条件下，也即无故障时，接近系统传感器输出y 。当第i个传感器故障而其余的m-1个传感器正常运行时，由第i个神经网络观测器所得的传感器的输出估值将会偏离的输出估值，而其他神经网络观测器的输出则不受影响，仍接近实际输出。那么利用下面的逻辑检测实现传感器故障诊断。
定义阀值ε ＞0，j=1，2，…，m，计算判别函数。
式中，y 为第i个传感器测量值，为由第i个传感器的测量值获得的第j个传感器输出的估计值。则有下面的逻辑：
四、小结
径向神经网络具有最优的逼近性能，可以精确地对系统进行辨识。利用神经网络观测器进行系统故障诊断，需要建立精确的神经网络辨识模型。在精确模型的基础上可完成对系统的故障诊断，这种抗干扰能力很强，对不确定、非线性系统有很好的效果。
(指导老师：何晓薇教授)
（作者系中国民航飞行学院飞行技术学院研究生）
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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