摘要:数列既是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,在历年高考中占有重要地位,常充当压轴题角色,今年高考数列压轴题在命题方向上以数列为载体与综合函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识交汇处的内容,使其更有新意,更有效的考察灵活运用相关知识分析解决问题,新疆新课改理科学习了选修4-4:不等式选讲,所以数列中的不等式问题应引起重视,下面就今年全国各省市的2010高考题中关于数列问题为例,感悟数列中的不等式问题。
关键词:高考;数列;不等式
中图分类号:G630文献标识码:A文章编号:1003-2851(2010)08-0068-01
例1、(2010江苏卷19)
设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,已知2a2=a1+a3,数列是公差为d的等差数列。
(1)求数列an的通项公式(用n,d表示);
(2)设c为实数,对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m,n,k,不等式Sm+Sn>cSk都成立。求证:c的最大值为。
解(1)由题意知:d>0, =+(n-1)d=+(n-1)d
2a2=a1+a3?圯3a2=S3?圯3(S2-S1)=S3,3[(+d)2-a1]2=(+2d)2
化简,得:a1-2・d+d2=0,=d,a1=d2
=d+(n-1)d=nd,Sn=n2d2
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2d2-(n-1)2d2=(2n-1)d2,适合n=1情形。
故所求an=(2n-1)d2
(2)(方法一)
Sm+Sn>cSk?圯m2d2+n2d2>c・k2d2?圯m2+n2>c・k2,c(m+n)2=9k2?圯>
故c≤,即c的最大值为。
(方法二)由=d及=+(n-1)d,得d>0,Sn=n2d2。
于是,对满足题设的m,n,k,m≠n有
Sm+Sn=(m2+n2)d2>d2=d2k2=Sk。
所以c的最大值cmax≥。
另一方面,任取实数a>。设k为偶数,令m=k+1,n=k-1则m,n,k符合条件,且Sm+Sn=(m2+n2)d2=d2[(k+1)2+(k-1)2]=d2(9k2+4)。
于是,只要9k2+4时,Sm+Sn
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