摘要：数列问题是每年高考必考内容，对数列问题的研究，从本质上讲就是对数列通项的研究，因为通项的性质能够代表或折射出数列的性质.因而数列的通项问题就显得十分重要了.下面结合实例谈谈数列通项式中运用递推公式的几种求法.
关键词：数列通项式；递推公式；求法
由数列的前若干项，运用观察、归纳、猜想的方法；找出各项与项数的关系式，然后以此类推。由递推公式求通项通常有以下几种情况：
1.形如an+1=an+q（n）a1=a，其中a为常数
由递推式有：a2-a1=q（1），a3-a1=q（2），……，an-an-1=q
（n-2），诸式相加有：an=a1+■q（k），即为累和法求数列通式.
例1 （2008年四川文16）
设数列{an}中，a1=2，an+1=an+n+1，则通项an= .
解：∵a1=2，an+1=an+n+1∴an-an-1=（n-1）+1，an-1-an-2=（n-2）+1，an-2-an-3=（n-3）+1，……，a3-a2=2+1，a2-a1=1+1，a1=2=1+1
将以上各式相加得：an=［（n-1）+（n-2）+（n-3）+……+2+1］+n+1
=■+n+1=■+n+1
=■+1 故应填■+1；
2.形如an+1=p（n）ana1=a，其中a为常数
由递推式有：a2=p（1）a1，a3=p（2）a2，……，an=p（n-1）
an-1，依次向后代入得：an=■p（k）・a1，即为迭代法求数列通项式；
另外由递推式有：■=p（1），■=p（2），……，■=p（n-2），诸式相乘得an=■p（k）・a1，即为累乘法 。
3.形如an+1=pan+qa1=a，其中p、q、a为常数且p≠1
由递推式有：an+1=pan+q，an-1=pan-1+q，两式相减得
an+1-an=p（an-an-1），（n≥2），则可得数列{an-an-1}为等比数列，故可求得an=a1+［（p-1）a1+q］■；
另外可用待定系数法求，如下：令an+1+x=p（an+x），所以an+1=pan+（p-1）x，由递推式可求出x=■，所以数列an-■为等比数列，故可求得an=（a1-■）pn-1+■.
例3 （2008年安徽文21）
设数列{an}满足a1=a， an+1=can+1-c，n∈N*，其中a，c为实数，且c≠0.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
解（1）方法一：
由递推式有：an+1=can+1-c，an=can-1+1-c，两式相减得：an+1-an=c（an-an-1），（n≥2）则数列{an-an-1}是以{a2-a1}为首项，以c为公比的等比数列，故可求得数列{an}的通项公式为an=（a-1）cn-1+1（n∈N*）
方法二：令an+1+x=c（an+x） 所以an+1=can+（c-1）x
由递推关系an+1=can+1-c得（c-1）x=1-c，解得x=-1
所以an+1-1=c（an-1）故数列{an-1}是首项为（an-1），公比为c的等比数列，则有an-1=（a-1）cn所以数列数列{an}的通项公式为an=（a-1）cn-1+1（n∈N*）
4.形如an+1=pan+q（n）a1=a，其中p、a为常数，且p≠1，q（n）为非常数
由递推式得：an+1=pan+q（n），两边同除以qn+1得，■=■+■，移式得■=■+■，对此式采用上述的叠加法可求得an=pn-1［a1+■■］
例4 （2008年四川理20）
设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban-2n=（b-1）Sn．
证明：当b=2时，{an-n・2n-1}是等比数列；
变：当b=2时，求an的通项公式．解法如下：
解：当b=2时，由题意知an=2an-1+2n-1
两边同除以2n得：■=■+■（n≥2，n∈N*）
■-■=■（n≥2，n∈N*）
所以数列■是等差数列，公差为■，首项为■=1，所以■=1+■（n-1）=■（n+1）
所以数列{an}的通项公式是an=（n+1）2n-1
5.形如pan+1+pan+ran-1=0a1=a，a2=b，其中p，q，y，a，b为常数
令pan+1+pan+ran-1=0所对应的方程为px2+qx+r=0，设α，β为px2+qx+r=0的两根.
那么当α≠β时，an=Aαn+Bβn，其中A、B由方程组Aα+Bβ=a1Aα2+Bβ2=a2唯一确定；α=β时，an=（A+B）αn，其中A+B由方程组（A+B）α=a1（A+B）α2=a2唯一确定.
例5 （2008年广东文21）
设数列{an}满足a1=1，a2=2，an=■（an-1+2an-2）（n=3，4……）数列{bn}满足b1=1，bn（n=2，3，……）是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有-1≤bm≤bm+1+……+bm+k≤1
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
解：由已知an=■（an-1+2an-2）得相应的二次方程x2=■（x+2），解得x1=1，x2=-■
令α=1，β=-■，解方程组A-■B=1A+■B=2，
得A=■B=-■
所以{an}的通项公式是an=■+■（-■）n-1
小结：对于递推数列求其通项，一般有分三种类型：第一类型an+1=p（n）an+q（n）a1=a，其解题思想是构造类似于等比列的新数列，常用方法有累加法，迭代法，待定系数法等；第二类型pan+1+pan+ran-1=0a1=a，a2=b，采用上述公式法；第三类型an+1=f（an），其中函数f（x）为基本初等函数复合而成，一般情况下，通过构造新的数列可转化为前两种类型.