摘 要：高中数学新课程新增加了近、现代数学思想，这为中学传统的数学内容注入了活力，也为解决一些初等数学问题的方法提供了更多的选择. 尤其在近几年的高考中，出现了以拉格朗日定理为背景的试题. 本文并非想要用拉格朗日中值定理结论来解决高考题，因为前人已经做的够多了，在此本文是试图探索运用拉格朗日中值定理的思想来解决高考题，体现的是高观点下的初等数学.
关键词：拉格朗日中值定理；高考题；不等式
拉格朗日中值定理及其证明
拉格朗日中值定理，若函数f满足如下条件:
（Ⅰ）f在闭区间［a，b］上连续;
（Ⅱ）f在开区间（a，b）内可导;
则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得 f′（ξ）=.
证明：设k=?圯f（b）－f（a）－k（b－a）=0.
构造辅助函数g（x）=f（x）－f（a）－k（x－a），则g′（x）=f′（x）－k.
由于g（x）在［a，b］连续，在（a，b）可导，g（a）=g（b）=0.
根据罗尔定理，存在ξ∈（a，b）使g′（ξ）=f′（ξ）－k=0，
即f′（ξ）=k=，定理得证.
例解拉格朗日中值定理思想在高考题的运用
例1 （2004年四川卷第22题）
已知函数f（x）=ln（1+x）－x，g（x）=xlnx.
（I）求函数f（x）的最大值;
（II）设0 解：（Ⅰ）略；
（Ⅱ）证?摇 先考虑要证的不等式0a时，G′（x）>0，因此G（x）在（a，+∞）上为增函数.
从而，当x=a时，G（x）有极小值G（a）.
因此G（a）=0，由于b>a，所以G（b）>0，即00时，F′（x）a，所以F（b）a时，G′（x）>0，因此G（x）在（a，+∞）上为增函数.
从而，当x=a时，G（x）有极小值G（a）.”
最终通过函数G（x）得出原不等式“0－1，且x≠0）才能求解第（Ⅱ）题，学生会较难想到要运用第一小题的结论，而且解第（Ⅰ）题需要花较多的时间，这使得有限的时间变得更少，这样，对于学生来说是一个挑战. 若运用拉格朗日中值定理不仅可以不用考虑第（Ⅰ）题的结论，而且可以运用拉格朗日中值定理较快接近证明的结果，不需要太多技巧，经过适当的步骤，就可以轻松的得到结论.
?摇可以运用拉格朗日中值定理来解决问题的高考题有：（在这里不一一具体解答）
1. （2006年四川卷理第22题）
已知函数f（x）=x2++alnx（x>0），f（x）的导函数是f′（x），对任意两个不相等的正数x1，x2，证明:
（Ⅰ）当a≤0时，>f.
2. （2007年高考全国卷Ⅰ第20题）
设函数f（x）=ex－e-x．?摇
（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．
3. （2007年安徽卷18题）
设a≥0，f（x）=x－1－ln2x+2alnx（x>0）.
（Ⅱ）求证:当x>1时，恒有x>ln2x－2alnx+1.
4. （2009年辽宁卷理21题）
已知函数f（x）=x2－ax+（a－1）lnx，a>1.
（Ⅱ）证明?摇若a－1.
5. （2010全国卷Ⅰ第20题）
已知函数f（x）=（x+1）lnx－x+1.
（Ⅱ）证明:（x－1）f（x）≥0.
总结
从以上的分析中，我们可以看到拉格朗日中值定理的种种好处. 首先，可以化简繁琐的计算；其次， 可以省略很多复杂的区间单调性讨论和参数的取值讨论的问题，避免思维的局限性；最后，运用拉格朗日中值定理的思想可以使思路更为清晰、自然，体现了高观点解题的优越性. 更为重要的是让读者知道解题的来龙去脉，之所以然，领会到学习数学并不是记忆简单的公式和定理，生搬硬套公式和定理. 学习定理既要掌握定理本身的内容，更要真正掌握定理的本质，内化定理的思想方法及其对以后解题思路的灵活性，达到融会贯通，举一反三的效果. 拉格朗日中值定理是大学数学的一个重要定理， 把这些定理与中学数学的知识联系起来，这样不仅可以使我们加深对现代数学的理解，而且能使我们更好的把握中学数学的本质和关键，从而可以居高临下的处理问题（拉格朗日中值定理在中学数学中的运用）.