摘 要：在解决某些数学问题的过程中，需要克服定势思维。本文重点针对克服定势思维的几种常见策略就典型例题做了详细剖析，并及时总结方法。简单探讨了如何在平时的教学中培养学生的发散思维，以期能让学生在解题过程中善于打破常规，另辟蹊径，提高答题的速度和准确率。
关键词：克服定势思维；发散思维
中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）12-119-02
人们一般习惯于正向思维，容易形成思维定势，因此在解决某些问题时会处于“山重水复疑无路”的困境。 在这种情况下，就需要我们及时转变思维方向，另辟蹊径，从而使问题得以解决。 在解题过程中克服定势思维常见的策略有正难则反、执果索因、以退为进、转化化归、变换视角等。下面就这些策略分别举例说明。
1、正难则反
我们拿到一道题目，总是习惯从正面入手，但有些数学问题如果从正面入手难度较大或者求解繁琐，这时不妨打破思维常规，转化为考虑问题的相反方面，实行“正难则反”策略，往往能开拓解题思路、简化运算过程。
例1:已知集合 ，若 ，求实数 的取值范围。
分析： ，说明集合 是以方程 至少有一个实根是大于0为元素组成的非空集合，方程 的实根分三种情况：①两正；②一正根一零根；③一正根一负根，分别求解十分麻烦。 这时采取“正难则反”的解题策略，即在 为全集 的情况下，求出方程①两根均为非正时 的取值范围， 最后利用“补集”思想求解。
解析：设全集 ，
若方程 的两根均为非正，即 ，且
由韦达定理可得 ，解得
。
【点评】对于一些比较复杂，比较抽象，条件和结论之间关系不明确，难于从正面入手的数学问题，就从问题的反面入手。 一般地说，当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确，特别是题目中出现 “不可能”、“唯一”、“至少”、“至多”等术语时，宜考虑用“正难则反”的思想方法。
2、执果索因
有些数学问题条件和结论之间的关系比较复杂、模糊，如果从已知条件出发，解题途径不太容易发现，或者会在中途迷失方向，使解题无法进行下去。 在这种情况下，我们不妨利用“分析法”证明不等式的思想，即执果索因，从结论逆行考虑问题，去寻觅结论成立的一些条件，由欲知确定需知，求需知利用已知，往往会收到较好的效果。
例2：设 、 、 是锐角，且 ，
求证： 。
分析：要证 ，只须证 即可。 由此，可把已知条件看成以 为变量的一元二次方程。
解析：把条件改写为 ，
解上述方程可得 。
由于 ，故 应舍去。
所以 ，
当注意到 、 、 都是锐角时，可得 。
【点评】从求证结论结合已知条件挖掘出 是一元二次方程的根，这为探明解题思路指出了方向。
3、以退为进
在探索解题途径时，直接解决问题复杂时不妨尝试一下间接解决。 对于某些问题， 可以退到构成这一整体内容的部分上，用带有整体特征的部分来处理问题，解题思路便会豁然开朗。
例3：求 的值。
分析：正面化简运算较困难，若仔细观察会发现其结构特点接近于余弦定理的形式，故可构造三角形，利用正、余弦定理解决。
解析：原式=
由于
则假设有一个三角形，其三个内角分别为 ，这三个内角所对的边依次是 ，由余弦定理得： ，
再由正弦定理得 ，
即原式= 。
【点评】在该题的解决过程中， 巧用了正、余弦定理，避免了许多烦杂的运算，从而使问题较轻松获得解决。 当然， 这种思想方法对同学们的思维要求较高， 不易发现。 这就要求我们在遇到题目时， 不要拘泥于题目的表象， 充分发挥发散思维， 统筹考虑整个题目， 才能不拘一格地发现巧妙的解法。
4、转化化归
另有一些题目， 可通过观察、分析、类比、联想等思维过程，运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法称之为“转化与化归思想”。转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的转换过程；化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。
例4：设 均为正数，且 ， ， 。则（ ）
A. B. C. D.
分析：这里要比较 三个正数的大小，而由已知条件很难求出 三个数的准确值。事实上， 仔细观察会发现 分别是指数函数与对数函数图象交点的横坐标，因此可利用化归转化数学思想的“数与形的相互转化”来进行解题。
解析：在同一直角坐标系下画出函数 与 与 及 的图象（如下图）。则 表示的是函数 与 交点的横坐标的值，同理有： 表示的是函数 与 交点的横坐标的值， 表示的是函数 与 交点的横坐标的值，则有 。故选A。
【点评】通过发掘函数式的几何意义，将代数问题转化为函数问题或几何问题或解析几何，然后利用函数图象或几何图形来解决，这也是近年来高考中常用的解题方法。
变换视角
还有一些题目，同学们会囿于思维定势，而忽略了题目的本意，从而走入一个死胡同，对该题无从下手。 此时，我们可以尝试变换一个角度去看问题，或者变易论题，或者换用另一种数学内容方法来演解，或通过数形变换，从中选择最容易突破难点的主攻方向。
例5：对任意的 使得不等式 恒成立，求实数 的取值范围。
分析：好多同学拿到这道题目，会习惯性的把 当成主元， 当成参数，导致问题无法解决。 殊不知由题目中的“对任意的 ”可将 看成主元，求的是 的取值范围，则恰恰可把 看成参数， 理解了这一点，此题就迎刃而解了。
解析：构造关于 的函数 ，只需使关于 的一次函数 的最大值小于等于 即可，即只需 即可，解得 ，即 的取值范围是 。
【点评】某些题目含有两个或多个参数时，可适时变换主元，从而使问题简单化。
通过以上的例证不难看出， 在解决数学问题的过程中， 如果正面考虑没有办法或者解法太繁琐时， 我们不妨及时转变思维， 克服定势思维，对题目灵活处理，充分发挥发散思维，就有可能会发现简单解法，巧妙解法，面对难题才会得心应手。 当然，发展学生的发散思维要以扎实而丰富的基础知识为依托， 只有这样才能从事物的各个方面去考虑问题。 教师在教学中要鼓励学生大胆提出问题、解决问题， 对学生要打破常规的提问，提倡一题多解，特别是选择、填空题更是要注重非常规方法的应用。 常此下去学生的思维会更加灵敏， 面对题目才能更加灵活自如的选择简便解法，才会呈现“柳暗花明又一村”的情景。