摘 要： 本文首先介绍在教学中如何导入微分中值定理的内容，从几何意义及分析语言来描述中值定理，进一步阐述中值定理的意义及给出它的一些应用. 关键词： 微分中值定理 局部 整体 罗尔定理
首先，我们回顾一下学习的差商及导数的概念.差商是随自变量x变化的一个函数，而函数在某一点处的导数是表示差商的极限即
f′（x）=.
从这里我们看得出来，某一点处的导数并不反映其它任何一点的函数的性质而仅仅反映函数的局部性质或“小范围”的性质；差商却放映了函数“大范围”的性质或整体性质.我们常常需要从函数的导数所给出的局部性质来推出其整体性质，为此，我们要讨论差商与导数之间的关系，就是我们在文章中要学习的“微分中值定理”.
微分中值定理是微分学中的重要的定理之一，在今后的学习中我们正常会用到它.因此，我们一定要正确地理解、掌握微分中值定理的条件、结论及几何意义.
我们作函数f（x）的差商，并且假设此函数的导数在闭区间a≤x≤b上处处存在，而使得其曲线图形处处具有切线.如下图，这个差商是割线AB的斜率.
可以发现在曲线弧AB上至少有一个位置C处，此处的切线与割线AB平行.也就是说，在区间（a，b）内存在ξ，使得
=f′（ξ）.
这个命题称为微分中值定理，也就是我们通常说的拉格朗日中值定理.现在用分析的语言来描述几何直观如下：
（拉格朗日中值定理）如果函数f（x）满足:
（i）闭区间［a，b］上连续的，（ii）开区间（a，b）内可导，则至少存在一个值ξ∈（a，b），使得
（1）=f′（ξ）.
通常公式（1）称为拉格朗日中值公式.为了证明拉格朗日中值定理，我们首先讨论一种特殊的情况.
（罗尔定理）如果函数φ（x）满足:
（i）闭区间［a，b］上连续的；
（ii）开区间（a，b）内可导;
（iii）φ（a）=φ（b），则至少存在一个值ξ∈（a，b），使得φ′（ξ）=0.
证明：因为φ（x）在闭区间［a，b］上连续，由最值定理知，在［a，b］上存在φ（x）的最大值M和最小值m.我们分以下两种情况考虑：
1）若M＞m，则φ≡M，?坌x∈［a，b］.所以我们有φ′（x）≡0，?坌x∈［a，b］.
因此，任取ξ∈（a，b），有φ′（ξ）=0.
2）若M=m，则M和m这两个数中至少有一个不在端点处取到.事实上，如果M和m同时在两端点处取到，由φ（a）=φ（b）知M=m，这是个矛盾.不妨设φ（x）在ξ∈（a，b）内取到最大值，即存在ξ∈（a，b），使得
φ（ξ）=M.下证明φ′（ξ）=0.事实上，由φ（x）在开区间（a，b）内可导，有
φ′（ξ）=φ′（ξ）=φ′（ξ）.由极限的保号性知
φ′（ξ）=≥0和φ′（ξ）=≤0，
所以φ′（ξ）=0.
关于罗尔定理我们给几点注解：
1）定理条件不全具备，结论不一定成立.例如，
缺少条件（i） 缺少条件（ii） 缺少条件（iii）
2）定理条件只是充分的，而不是必要的.
拉格朗日中值定理的证明:我们现在应用罗尔定理来证明中值定理.等价于证明-f′（ξ）=0.因此，我们需要构造一个辅助函数φ（x）使得φ′（ξ）=-f′（ξ）=0.从这个表达式中我们容易构造辅助函数φ（x）=x-f（x），下说明函数φ（x）满足罗尔定理的条件，显然，φ（x）在闭区间［a，b］上连续的，而在开区间（a，b）内可导.因为
φ（a）=a-f（a）=和φ（b）=b-f（b）=，
所以φ（a）=φ（b）.由罗尔定理知，存在ξ∈（a，b），使得φ′（ξ）=0，即=f′（ξ）.于是定理得证.
拉格朗日中值定理的意义：函数的导数定义为某区间上的差商当区间的端点相互趋近时的极限.而中值定理建立了可微函数的差商同导数之间的联系，这里并不要求收缩为一点.每一个差商都等于一个适当的中间点ξ处的导数.例如，设y=f（x）是火车从某车站出发沿着某一铁路行驶的路程函数，这里x表示时间.那么f′（x）表示火车在时刻x处的速度.如果知道前3个小时（△x=3）火车行驶了路程△f=450公里，那么由中值定理我们可以得到，在这3个小时内至少有一瞬间火车行驶的速度正好是每小时150公里.但我们并不明确到达此速度的具体时刻ξ.也就是前面我们所说的，某时刻ξ瞬时速度（局部性质）可以反映整个路程的平均速度（整体性质）.
拉格朗日中值定理的一些应用.
1.作为中值定理的应用之一，我们来导出今后我们学习积分学时很有用的定理.如果f（x）在某一区间上是一常数，那么f′（x）≡0.它的逆命题也是成立的，即
推论1:如果函数f（x）在某一区间上的导数恒为零，则f（x）在某一区间上是一常数.
2.我们可以利用中值定理得出如果函数f（x）的导数不变号，则f（x）是单调函数.具体地说我们有以下结论：
推论2:如果函数f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导.
（1） 如果在（a，b）内f′（x）＞0，那么函数f（x）在［a，b］上单调增.
（2） 如果在（a，b）内f′（x）＜0，那么函数f（x）在［a，b］上单调减.
参考文献：
［1］同济大学数学系主编.高等数学（第六版）.高等教育出版社.
［2］R.柯朗，F.约翰著.张鸿林，周民强译.微积分与数学分析引论.科学教育出版社，1979.
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