摘 要： 本文通过对一道习题的研究，引出双曲线的中点弦的存在性的探讨。经过演算，分类讨论，推理得出判断中点弦是否存在的判定方法。 关键词： 双曲线 中点弦 存在性 斜率 平面区域
在双曲线中，经常遇到求中点弦的问题，首先来看一个例子.
例题：在双曲线-=1中被点P（2，1）平分的弦所在的直线方程是（）。
A.8x-9y=7 B.8x+9y=25 C.4x-9y=6 D.不存在
学生易用下面的方法解决：
解：设所求弦与双曲线的交点为A（x，y），B（x，y），则有
-=1，-=1
两式相减得：-=0
当弦AB被点P（2，1）平分时，有x+x=4，y+y=2.代入上式可得：=，即得弦AB所在直线的斜率为.由点斜式方程可得弦AB所在的直线方程为：
y-1=（x-2），化简得：8x-9y=7，故选A.
仔细研究发现直线8x-9y=7与双曲线-=1不可能相交，（联立两方程消去y可得：28x-112x+373=0.易求其判别式Δ=112-4×28×373=-112×261方程无实数解）学生的做法看似合理，实际上所要求的弦根本不存在.这样就需要探讨一下双曲线的中点弦的存在性.
问题：双曲线C：-=1中是否存在以P（x，y）为中点的弦？
解：假设AB是以P（x，y）为中点的弦，A（x，y），B（x，y）.则有
-=1，-=1
两式相减得：-=0
若AB被P（x，y）平分，则有x+x=2x，y+y=2y代入上式得：
-=0
1．当x≠x，y≠0时，可得AB所在直线的斜率k==，
AB所在的直线方程可写成：y-y=（x-x）.
下面需验证直线AB与双曲线C：-=1能否有两个交点.故联立方程组消去y可得：
bx-a（x-x）+y=ab
化简得：
b（ay-bx）x-2bx（ay-bx）x-（ay-bx）-aby=0
（1）当ay-bx=0时，即（bx+ay）（bx-ay）=0且k==±，此时，P（x，y）在双曲线的渐近线上且斜率与渐近线的斜率相同.那么所求的中点弦就与渐近线重合，而渐近线与双曲线没有公共点，故所要求的中点弦不存在.
（2）当ay-bx≠0时，考查二次方程的判别式
Δ=［2bx（ay-bx）］+4b（ay-bx）］［（ay-bx）+aby］
＝４bx（ay-bx）+4b（ay-bx）+4b（ay-bx）aby
=4b（ay-bx）［（ay-bx）+bx（ay-bx）+aby］
=4b（ay-bx）（ay+bx-2abxy+abxy-bx+aby）
=4b（ay-bx）（ay-abxy+aby）
=4aby（ay-bx）（ay-bx+ab）
=4aby（bx-ay）（bx-ay-ab）
令Δ＞0得：bx-ay＜0或bx-ay＞ab.
即当P（x，y）满足bx-ay＜0或bx-ay＞ab时，以P为中点的弦存在.
2．当y=0时，则x=0或x=x，
（1）若x=0时，即P在原点，由双曲线的对称性（关于原点对称）可知以原点为中点的弦存在且有无数条;
（2）若x=x时，斜率不存在，方程为x=x，首先保证直线与双曲线有两个交点，即|x|＞a.
此时也满足bx-ay＞ab.
综合可得双曲线的中点弦存在的判定定理.
定理：双曲线C：-=1中，若P（x，y）满足P在原点或满足bx-ay＜0或bx-ay＞ab时，以P为中点的弦是存在的，否则不存在.
为了直观判断，还可上述不等式条件可仿照线性规划画平面区域的方法画出对应的平面区域.
1.bx-ay＜0即（bx+ay）（bx-ay）＜0，其对应的平面区域（不包括边界）如图1所示.
2．bx-ay＞ab，其对应的平面区域（不包括边界）如图2所示，加上P在原点的情形，综合可得平面区域如图3所示.
对于文章开头的例题中：a=9，b=4，x=4，y=1，可验证得：bx-ay=4×4-9×1=7＞0且7＜9×4=ab，不满足定理中的不等式条件.也可画平面区域如图4中P的位置来判断.两种方法都能说明以P为中点的弦不存在.
注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
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