中学生的认知能力在不断提高,认知的核心成分――思维能力逐渐成熟,抽象逻辑思维、辩证思维和创造思维也有了较大发展;注意的稳定性较小学生增强,但对呆板、枯燥、机械的教学和操练,学生容易因厌烦而分散精力;观察力、有意识记能力、有意想象能力不断发展,思维的目的性、方向性更明确,认知系统的自我评价和自我控制能力都较小学时有所增强;认知结构和情意、个性等形成较协调发展的局面,使心理的整体水平也得到提高。
在展开与折叠的活动中,学生能初步形成空间观念,能强化和提高进行图形分析与推理的能力。2010年全国各地的中考试题中大量出现这类题型,我经过筛选,整理出一小部分进行赏析。首先是关于几何体的展开图。
1.(眉山市)下列四个图中,是三棱锥的表面展开图的是()。
学生在充分掌握棱锥、圆锥的形状特征的前提下,只需简单空间想象,就很容易得出上题的答案。如果适当变形,将变得更有实际意义。如下一道中考题。
2.(浙江省衢州卷)小刚用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面(接缝忽略不计),如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm,那么这张扇形纸板的面积是( )。
A.120πcmB.240πcm
C.260πcmD.480πcm
折叠是展开的相反活动,以上两个例题都涉及到将立体图形转化为平面图形是展开,将平面图形转化为立体图形则是折叠。但折叠不能只局限于以上这些简单的题型,中考中涉及三角形、矩形的折叠才是“重头戏”。
3.(浙江省义乌市)如图,将三角形纸片ABC沿DE折叠,使点A落在BC边上的点F处,且DE∥BC,下列结论中,一定正确的个数是()。
①是等腰三角形 ②DE=BC
③四边形是菱形 ④∠BDF+∠FEC=2∠A
A.1B.2 C.3D.4
将三角形纸片ABC沿DE折叠,则有△ADE与△FDE关于DE轴对称,△ADE≌△FDE,有AD=FD,AE=FE,∠ADE=∠FDE,∠AED=∠FED,因为DE∥BC,利用“两直线平行,同位角相等,内错角相等”,可得∠B=∠BFD,所以△BDF是等腰三角形,①成立。抓住△ADE≌△FDE这个关键,AD=BD=FD,所以D是AB的中点,同理E也是AC的中点,DE是△ABC的中位线,②也成立。利用三角形内角和定理或连AF用三角形外角和定理,很容易确定④也正确。因为三角形ABC不一定是等腰三角形(AB=AC),AD=FD≠AE=FE,故四边形不一定是菱形。
4.(江西)如图,已知矩形纸片ABCD,点E是AB的中点,点G是BC上的一点,∠BEG>60°,现沿直线EG将纸片折叠,使点B落在纸片上的点H处,连接AH,则与∠BEG相等的角的个数为()。
A.4B.3 C.2 D.1
沿直线EG将纸片折叠,有△BEG≌△HEG,明显有∠HEG=∠BEG,这里E点是中点很重要,AE=BE=EH,△AEH是等腰三角形,可推出∠EAH=∠EHA=∠BEG,故选B。
结合上面两个例题可看出折叠问题中,最基本也是最关键的地方就是要注意折痕两侧可完全重合的部分,即关于折痕轴对称,找全等,找相等的线段、角,找等腰三角形,综合分析,解决问题。
5.(青岛)把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为EF。若AB=3cm,BC=5cm,则重叠部分△DEF的面积是?摇?摇?摇?摇cm。
求△DEF的面积,其实只要求出线段DE长(DE边上的高为3cm)即可。考虑轴对称、矩形、直角三角形等方面,可作如下解答:设DE=x,则AE=A′E=(5-x)cm,在直角三角形A′ED中,根据勾股定理得A′E+A′D=DE,即(5-x)+3=x,解之得x=3.4,所以重叠的部分面积为5.1cm。
折叠问题中经常出现与上题类似的计算求值,尤其要注意个别重要线段的计算,计算过程中,充分利用特殊图形的性质,结合勾股定理,设未知数,列方程求解,用代数方法解决几何问题,这在一定程度上也体现了数形结合数学思想。
中考中有许多探究题也涉及到折叠,虽然问题设计灵活,知识点多,但是只要抓住以上分析的折叠的特征和解决问题的思想方法,还是可以轻松完成的。
6.(顺义)已知正方形纸片ABCD的边长为2。
操作:如图1,将正方形纸片折叠,使顶点A落在边CD上的点P处(点P与C、D不重合),折痕为EF,折叠后AB边落在PQ的位置,PQ与BC交于点G。
探究:(1)观察操作结果,找到一个与相似的三角形,并证明你的结论;
(2)如图2,当点P位于CD中点时,你找到的三角形与△EDP周长的比是多少?
与△EDP相似的三角形是△PCG和△FQG。因为折叠后,∠Q与∠EPQ=90°,易找另一组锐角相等,利用“两组对应角相等的三角形相似”来判断。
探究(2)是求周长比,如图2,因为“相似三角形的周长比等于相似比”,所以要通过求线段长来求相似比,而第5题已经给出了典型的方法。以△PCG∽△EDP为例,设ED=x,则AE=2-x,由折叠可知:EP=AE=2-x。∵点P是CD中点,∴DP=1,∵∠D=90°,∴ED+DP=EP,即x+1=(2-x),解得:x=,∴ED=。
∵△PCG∽△EDP,
∴==,
∴△PCG与△EDP周长的比为4∶3。
图形的展开与折叠是初中数学中的重要内容,空间观念需要大量的实践活动,学生要有充分的时间和空间观察、测量、动手操作,例如七年级学习的三视图。然而中考考查学生的不仅仅是几个几何体的视图、表面展开图,更重要的是与其它知识的融合应用。在计算、证明某些问题时,掌握展开与折叠的特征,灵活运用各种数学思想方法,尤其是方程思想,就可以迅速并且有效地完成任务。当然关于图形的展开与折叠还有更多的、更复杂的数学问题,鉴于它的普遍性、重要性,教师、学生都需要重点加以练习、分析、归纳。
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文