摘 要： 复杂变化的背后总是隐藏“不变量”，善于发现、利用“不变量”对数学问题的解决是很有帮助的。 关键词： 变化 操作变换 不变量 在数学问题中往往有很多变量，还有很多对对象、数据按一定规则进行的变换和操作，这些无疑增加了问题的复杂性，给问题的解决增加了难度。但在这些复杂变化的背后总是隐藏着一些没有变化的东西，那就是不变量。抓住不变量就成了解决问题的关键。
一、图形变化中的不变量
例1：在直角梯形ABCD中AD=2，BC=3，AB⊥BC，DC绕D点逆时针旋转到DE，求S。
分析：梯形的高AB是变化的从而DC，DE和所求的三角形都是变化的，但按逆向思维，三角形的面积是定值，底边AD是定值故AD上的高是不变量。抓住这一点问题得解。
解：过E作EG⊥AD交AD延长线于G，过D作DF⊥BC于F，在Rt△DFC和Rt△DGE中∠FDC=∠GDE=-∠CDG，又因CD=ED，
∴Rt△DFC≌Rt△DGE，
∴EG=CF=3-2=1，
∴S=AD・EG=1。
二、解析几何中坐标变换中的不变量
在解析几何中进行坐标平移、旋转时曲线的方程是变化的，但曲线自有的性质不会变化。
例2：已知抛物线的焦点坐标是（2，4），且以x轴为准线，求该抛物线的方程。
分析：焦点F到准线的距离p是一个不变量，可直接求出；同时抛物线的顶点平分焦点F到准线的垂线段这一性质也是不变的。
解：由题意可知，抛物线的对称轴与x轴的交点K的坐标为（2，0），而顶点O′又是KF的中点（如图2），故可求出O′的坐标为（2，2），于是可设抛物线方程为：
（x-2）=2p（y-2）。又p=|KF|=4，
故所求抛物线的方程为：（x-2）=8（y-2）。
三、求极限问题中的不变量
例3：从平面上一个点S=（a，b），（0＜a＜b）出发，按下列规则产生一系列点（x，y）， x=a，y=b，x=，y=，求：x和y。
分析：由调和平均与算术平场的关系有a＜…＜x＜x＜y＜y＜…＜b，显然{x}单调上升有上界b，单调下降有下界a。故x与y都存在。
设x=M，y=N，在y=两边取极限有N=，从而有M=N。
又因为xy=xy=…xy=ab即x与y的积是不变量，
所以x・y=xy=ab=ab，
所以x=y=。
四、对对象、数据进行操作变换中的不变量
例4：设n名选手参加一次乒乓球循环赛，没有平局出现，第i名选手胜ω场，负ξ场。
求证：ω=ξ。
分析：抓住两个不变量，①全部选手的胜场总和与负场总和相等。②任一选手的胜场与负场总和是不变的（为n-1）。
解：显然有ω=ξ和ω+ξ=n-1，i=1，2，3，…n。
∴ω-ξ=（ω+ξ）（ω-ξ）=（n-1）（ω-ξ）=0，
∴ω=ξ。
例5：已知3个数5、12、18每一次操作是从这三个数中任选2个a，b并用（a+b），（a-b）代替它们，问是否能经过有限次操作后得到3个数为3、13、20？
解：在此操作中，由于a+b=［（a+b）］+［（a-b）］即每一次操作后数据的平方和不变，但5+12+18≠3+13+20，故不能。
以上各例涉及的内容各不相同但解决问题的关键都是抓住了不变量，可见善于发现、利用“不变量”对数学问题的解决是很有帮助的。
参考文献：
［1］［德］A・恩格尔.解决问题的策略.上海教育出版社.
［2］张奠宙编.数学方法论稿.上海教育出版社，1993：61-64.
［3］熊斌，刘雄，余红兵.高中数学竞赛教程.华东师大出版社，2007.
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文