解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难。通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。
化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。试想，在问题的解决过程中如果我们不能将生疏的背景转化到熟知的地步，不能将陌生的问题化归为熟悉的问题，不能将复杂的问题转化成简单的问题，不能将抽象的问题化归为直观而具体的问题，不能将含糊不清的问题转化为明朗的问题，解决它的可能性是不大的。下面通过举例说明这种思想的应用：
一、复杂到简单的转化
这是化归思想的“基本精神”。
例1：若不等式x +px＞4x+p-3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围。
解：∵x +px＞4x+p-3，
∴（x-1）p+x -4x+3＞0。
令g（p）=（x-1）p+x -4x+3，则要使它对0≤p≤4均有g（p）＞0，只要有g（0）＞0g（4）＞0，
∴x＞3或x＜-1。
在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的。但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解。本题中，若视x为主元来处理，既繁琐且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行。
二、已知与未知间的相互转化
例2：在（x +3x+2） 的展开式中x的系数为（ ）。
（A）160 （B）240 （C）360 （D）800
分析与解：本题要求（x +3x+2） 展开式中x的系数，而我们只学习过多项式乘法法则及二项展开式定理，因此，就要把对x系数的计算用上述两种思路进行转化：
直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解，则（x +3x+2） 展开式是一个关于x的10次多项式，（x +3x+2） =（x +3x+2）（x +3x+2）（x +3x+2）（x +3x+2）（x +3x+2），它的展开式中的一次项只能从5个括号中的一个中选取一次项3x并在其余四个括号中均选择常数项2相乘得到，故为C•（3x）•C•2 =5×3×16x=240x，所以应选（B）。
化归与转化的意识可帮我们把未知转化为已知。
三、抽象到具体的转化
有些问题的解决表象比较抽象、费解、含糊、难懂，应充分利用已知条件朝着具体、明朗的地步转化。
例3：将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）。
（A） （B） （C） （D）
分析与解：本题表面较抽象，实质是从1，2，3，4，5，6这六个数中，依次取出3个（可重复）数构成多少个等差数列的问题。（1）公差为0共有6种情况；（2）公差为±1共有8种情况；（3）公差为±2共有4种情况，故所求= = 。
四、不可知到可知的转化
有些问题的解决表面看不可知，需要进一步挖掘条件，充分利用已知信息或变形或转化，转化到可知的地步。
例4：设F为抛物线y =4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点。若 + + =，则| |+| |+| |（ ）。
（A）9 （B）6 （C）4 （D）3
分析与解：本题若只从未知看条件似乎不充分，因为显然点A，B，C的坐标无法确定，但抛物线的定义告诉我们| |即点A到准线x=-1的距离，这样所求| |+| |+| |=x +x +x +3，而由 + + =不难得到x -1+x -1+x -1=0，即x +x +x =3，故| |+| |+| |=6，选（B）。
解题时当一个思路本应可以解决问题，但不成功时，应充分挖掘已知潜力，另辟蹊径，实现由不可知到可知的转化。
五、一些常规的定式转化
数学解题中有些现成的定式转化，如“顺逆序相加”，“错位相减”，“累加相消”，“相乘相约”，“裂项求和”，“已知S 求a ”，“化无限循环小数为分数”，“对正态总体N（μ，σ ）有P（ξ＜x）=F（x）=Φ（ ）”等等。
例5：解关于的不等式|x|＞ax（a∈R）。
分析与解：这是一道在“市面”上流行了好多年的老题，一般人都不屑一顾。去年安徽命题人看中了该题，改为理3“若|x|≥ax对任意x∈R恒成立，则a的取值范围为（ ）。（A）a＜-1（B）|a|≤1（C）|a|＜1（D）a≥1”，这一改造虽大大降低了原题的难度，却提升了原题档次。在解答本题时容易犯的错误就是分类线索不清，时而考虑a，时而考虑x。事实上，|x|＞ax?圳x＞ax或x＜-ax?圳（a-1）x＜0…①或（a+1）x＜0…②，兼顾①②两式分类线索顺理成章。（1）a＜-1；（2）a＞1；（3）-1＜a＜1；（4）a=1；（5）a=-1。最后归纳总结即可。
这是一道非常常规的问题，转化的核心是消去绝对值符号，只需利用绝对值不等式的等价变形即可，但这点却往往容易被人们忽视而误入歧途。
总结
1.熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。
2.为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，又可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式；既可以从代数的角度去认识问题，又可以从几何的角度去解决问题。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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