摘要： 在高等数学的学习中，变上限积分的求导对知识点的要求比较多，往往需要使用到计算极限求导以及求定积分的知识。本文针对高等数学中变上限积分的求导，给出新的教学和学习的方法，使学生更好地掌握这部分知识，从而对导数的概念有更深刻的认识。
关键词： 变上限积分 洛必达法则 未定式
在利用洛必达法则解决未定式极限的题目中，含变上限积分的未定式极限对知识点的要求比较多，往往需要使用到计算极限求导以及求定积分的知识，因而是学生感觉头疼的内容。在教学过程中发现，学生的问题主要是对变上限积分的求导不能熟练掌握和应用。下面就主要研究变上限积分的求导问题，使学生更好地解决变上限积分的求导的相关问题。
定理［１］：如果函数f(x)在［a，b］上连续，则变上限积分函数Φ(x)=∫f(t)dt在［a，b］上可导，且Φ′(x)=f(x)，x∈［a，b］。
定理的证明利用导数的定义以及定积分中值定理便很快地得出。该定理的应用主要是在解决形如∫f(t)dt的函数的求导的题目中，直接将被积函数f(t)中的积分变量t换成x即可。而很多学生也只将学习的重点放在了这里，忽略了对定理证明的理解。所以学生在碰到∫xcostdt和∫e dt这样的变上限积分求导时也直接将被积函数中的积分变量t换成x，结果导致了错误，并且学生也感到很困惑。为了解决学生的困惑，在讲述这部分内容的时候可以将书本上的知识点做扩充，让学生充分理解变上限积分的求导。
在结束书中这部分内容的教授后，可以给学生下面的问题让学生思考后再讲解：
如果函数f(x)在［0，+∞)上连续，那么我们如何利用已经学习的定理解决下面的变上限积分的求导问题：（1）Φ
然后给出正确的证明：
∫f(u)du的求导绝大多数教材中均有介绍，令ψ(x)=∫f(u)du，ψ′(x)=2xf(x )，故Φ′(x)=( ψ(x))′=- ψ(x)+ ψ′(x)=- ψ(x)+2f(x )。
这样，学生就可以看出并不是直接将被积函数中的积分变量换成就可以解决问题。下面就可以通过具体题目来加深学生的理解了。值得一提的是，在解决较复杂的变上限积分的求导问题时，建议开始时要求学生将求导符号写成 的形式，例如在讲解书中∫f(u)du的求导，这样可以清晰地看到到底是针对什么变量求导。
例1.求 ∫xcostdt。
∫f(t)dt，∫xcostdt和∫e dt这三种形式的变上限积分的求导是对书中基本内容的提高，在学习了它们的求导以后，学生便会对变上限积分有全面而深刻的认识了。直接将被积函数中的积分变量换成，这仅仅是对书上定理给出的Φ（x）=∫f(t)dt的求导的一种通俗而形象的理解，学生更需要掌握的是如果把积分上限或被积函数做变化以后如何求导，因此对定理的证明也要充分理解。
在高等数学的学习中，我们不仅要掌握计算公式，更要重视对基本概念和定理的本质的理解，这样才能学好这门课程，为进一步学习其他课程夯实基础。
参考文献：
［1］唐瑞娜，白淑岩.高等数学(工科类)，上册.清华大学出版社，北京交通大学出版社，2004，第一版.
［2］电子科技大学应用数学系.高等数学复习指南.电子科技大学出版社，1998，第一版.
［3］华东师范大学数学系.数学分析(上册).高等教育出版社，2001，第三版.
［4］同济大学应用数学系.高等数学(上册).高等教育出版社，2002，第五版.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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