分析近年来的高考及高考模拟题，有关抽象函数的问题已成为选择、填空题中中高难题考查的“热点问题”.这类问题由于条件中没有给出具体的函数解析式，而只给出该函数所具备的某些性质，所以求解时往往感到很棘手.下面就解决这类问题的三种常用妙招总结如下.
抽象型函数问题常是以某个基本函数为模型进行设计或编拟的.因此解题前若能通过“类比”的方法，根据已知条件及所需研究的抽象函数的性质，寻找出恰当的“模特”函数，并通过分析、研究“模特”函数的图像及性质，往往能引导我们找出解决抽象函数问题的方法或策略.
例1 已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：① x＞1时，f（x）＜0；② f=1；③对任意x，y∈（0，+∞），有f（x•y）=f（x）+f（y）.求不等式f（x）+f（5-x）≥-2的解集.
解析 由题设③可用对数函数y=logax作为函数f（x）的“模特”进行分析，又由题设①知0＜a＜1，从而可知函数y=logax在（0，+∞）上为单调递减函数.因此尝试先证明f（x）在（0，+∞）上为单调递减函数为解本题的突破口.
任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则＞1.又由f（x•y）=f（x）+f（y），可得f（x2）=f•x1=f+f（x1）（*）.由条件x＞1时，f（x）＜0，可得f＜0，所以f（x2）＜f（x1），即f（x）在（0，+∞）上为单调递减函数.由f（x•y）=f（x）+f（y），令x=y=1，可得f（1）=0，又f=1，所以有f2×=f（2）+f=0，可得f（2）=-1，于是
-2=2f（2）=f（2）+f（2）=f（4）.由f（x）+f（5-x）≥-2，可得f［x（5-x）］≥f（4），即有x（5-x）≤4，又x＞0，且5-x＞0，解得0＜x≤1或4≤x＜5.因此原不等式的解集为（0，1］∪［4，5）.
反思 “类比”寻找抽象函数的“模特”是解本题的关键.若本题改为填空题，则可直接利用“模特”函数y=logx进行求解，即只需解不等式logx+log（5-x）≥-2即可.作为解答题，“模特”函数虽不能直接参与问题的解决，但它为我们解题指明了方向.常见的类比还有：由f=f（x）-f（y）联想到对数函数y=logax；由f（x+y）=f（x）f（y）或f（x-y）=联想到指数函数y=ax；由f（x+y）=f（x）+f（y）联想到一次函数y=kx（k≠0）；由f（xy）=f（x）f（y）联想到幂函数y=xa；由f（x+y）=联想到三角函数y=tan（x+y）等.
赋值法是解决抽象函数问题的最基本方法之一.通过适当的赋值，往往可用以解决：①求抽象函数的函数值（如例1中令x=y=1，得到f（1）=0等）；②判定抽象函数的单调性（如例1中令y=，得到（*）式后再进一步说明抽象函数的单调性）；③判定抽象函数的奇偶性；④确定抽象函数的周期，等一系列问题.
例2 已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的严格单调函数，当n=N*时，f（n）∈N*，若f［f（n）］=3n，则f（5）的值等于.
解析 作为填空题的最后一题，容易联想到的仍是寻找符合条件的“模特”函数来求解，但有困难.此时，不妨重新审视题目的已知条件，尝试通过适当的“赋值”来寻求解决问题的方法.
注意到n∈N*时，f（n）∈N*，不妨令n=1，则①当f（1）=1时，与f［f （1）］=f（1）=3矛盾，所以f（1）=1不合题意；②当f（1）=2时，f［f（1）］=f（2）=3，即有f（2）=3；又f［f（2）］=f（3）=6，即有f（3）=6；又f［f（3）］=f（6）=9，即有f（6）=9；又f（x）是定义在（0，+∞）上的严格单调函数，根据f（1）=2，f（2）=3，f（3）=6，f（6）=9，f（n）∈N*，可推得f（4）=7，f（5）=8；③同理，当f（1）≥3时，均可根据f（1）与f［f（1）］的值及单调性得出矛盾.由此可得f（5）=8.
反思 当解决问题遇到困难时，重新回归、分析已知条件不失为一种好方法.本题结合题目条件进行恰当的赋值即为解决本题的一个突破口.
例3 已知函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f=f（x），且当0≤x1＜x2≤1时，f（x1）≤f（x2），则f=.
解析 令x=1，由f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，可得f（1）
+f（0）=1，f（1）=1；令x=，由f（x）+f（1-x）=1，可得
f=；又f=f（x），令x=1，可得f=f（1）=.根据条件，当0≤x1＜x2≤1时，f（x1）≤f（x2），又f=，f=，所以当x∈，时，f（x）=恒成立.
由此可联想是否还存在这样的区间，使自变量取相应的值时，它的函数值是个常数呢?于是再令x=，根据f=f（x），可得f2=f=2；令x=，根据f=f（x），可得f×=f=2，于是当x∈2，×时，f（x）=2恒成立；同理，当x∈3，×2时，f（x）=3恒成立；….猜想：当x∈n，n-1时，f（x）=n恒成立.易证猜想成立.
又5=＜＜5-1=，所以此时f=5=.
反思 注意到本题所涉及的自变量x=是个较小的数，像这类要求较小（或较大）自变量的函数值的题，往往有三种求解的策略：一是寻找出符合条件的“模特”函数y=f（x）（其中包括熟知的数列），然后将相应的的值代入“模特”函数的解析式（或数列的通项），直接算出结果；二是尝试说明抽象函数是周期函数，然后根据周期性将所需求值的自变量与已知函数值的自变量联系起来求解；三是归纳、猜想，总结规律（或递推关系）来求解（如本例）.
根据题目所给的抽象函数的有关性质和背景，作出大致符合条件的函数的图像，再根据图像的直观性作出正确解答.这也是处理抽象函数问题最为基本的方法之一，尤其对填空、选择题的解答更为有效.
例4 （2009年山东卷）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间［0，2］上是增函数，若方程f（x）=m（m＞0）在区间［-8，8］上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=.
解析 由f（x-4）=-f（x），且f（x）为奇函数，可得
f（x-4）=f（-x），所以函数图像关于直线x=-2对称，又f（x-8）=-f（x-4）=f（x），所以此函数是以8为周期的周期函数.又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0.根据奇函数关于原点对称，可知若f（x）在区间［0，2］上是增函数，则f（x）在区间［-2，0］上也是增函数，再根据对称性及周期性，画出草图如下图所示.
若x1，x2，x3，x4为方程f（x）=m（m＞0）在区间［-8，8］上的四个不同的根，不妨设x1＜x2＜x3＜x4，于是由对称性知x1+x2=-12，x3+x3=4.所以x1＜x2＜x3＜x4=-12+4=-8.
反思 从本例的解答可知，“数形结合”很好地将抽象问题进行了具体化处理，有利于问题的解答.
以上只是处理抽象函数的三类最为基本的方法，要高效、准确地解决这类问题，还需要根据题意灵活综合应用以上方法.
1. 若f（x）为奇函数，且在（-∞，0）内是增函数，又f（-2）=0，则xf（x）＜0的解集为.
2. 已知函数f（x）满足f（a+b）=f（a）f（b）（a，b∈R），且f（1）=2，则+++…+=
3. （2009年四川卷改编）设定义在R上的函数
f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则.
4. （2009年辽宁卷改编）设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数，则满足f（x）=f的所有x之和为.
5. 定义在（-1，1）上的函数f（x）同时满足：①对于任意的x，y∈（-1，1），有f（x）+f（y）=f；②当x∈（-1，0）时，f（x）＞0.
（1） 判定f（x）的奇偶性、单调性；
（2） 求证f-f=f（n
∈N*）；
（3） 求证f+f+…+f＞f（n∈N*）.
1. （-2，0）∪（0，2）. 提示：用“数形结合”法求解.
2. 4018. 提示：用“模特”函数y=2x求解.
3. . 4. -8.
5. ?摇（1） 在①中，令x=0，得f（0）=0.又令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x）.所以f（x）是奇函数.
由②知f（x）=0在x∈（-1，1）时不能恒成立，所以f（x）是奇函数但不是偶函数（若g（x）既是奇函数又是偶函数，必有g（x）=0）.
设-1＜x1＜x2＜1，得＜0.而f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f.
由①知∈（-1，1），所以∈（-1，0）.由②得f＞0，所以f（x1）＞f（x2）.所以f（x）在（-1，1）上单调递减.
（2） 先验证，∈（-1，1），然后易证.
（3） 由（2）得f+f+…+f=f-f+f+…+f-f=f-f=f+f＞f.