摘 要： 数形结合思想是重要的数学思想方法之一，本文从函数图像和几何图形两个方面，举例说明“以形助数”在解决问题中的一些妙用。 关键词： 数形结合思想 函数图像 几何图形 巧解数学题
所谓数形结合思想是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，一方面借助数的精确性来阐述形的某些属性，另一方面借助形的直观性来阐述数量之间的关系。数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，在解题中运用数形结合，常常可以优化解题思路，简化解题过程。
一、利用数形结合思想解决集合的问题。
当几个集合的解集是不等式形式，要求它们的交集或并集时，经常借助于数轴，把不等式的解集在数轴表示出来，通过数轴观察它们的交集或并集，这样比较直观，例如：
例1：已知集合A={x|-1＜x＜3}，B={x|a＜x＜3a}（a∈R），
（1）若A?哿B，求a的范围；（2）若B?哿A，求a的范围。
分析：先在数轴上表示出集合A的范围，要使A?哿B，由包含于的关系可知集合B应该覆盖集合A，从而有a≤-13a≥3，这时a的值不可能存在。（如图1①）
要使B?哿A，当a＞0时集合A应该覆盖集合B，应有a≥-13a≤3a＞0成立，0＜a≤1。
当a≤0时，B=?�，显然B?哿A成立。故B?哿A时a的取值范围为：a≤1。（图1②）
二、利用数形结合思想解决方程和不等式问题
1?郾利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题。
利用二次函数f（x）=ax+bx+c（c≠0）的图像与x轴交点的横坐标是方程f（x）=0的实根，根据二次函数f（x）=ax+bx+c（a≠0）与x轴的交点情况就可以确定方程f（x）=0的实根的情况，即通过f（x）=0?圳y=f（x）的相互转化，利用函数y=f（x）的图像可以直观解决问题。例如：
例2：a为何值时，方程2ax+2ax+1-a的两根在（-1，1）之内？
分析：显然a≠0，我们可从已知方程联想到相应的二次函数y=2ax+2ax+1-a的草图（图2），从图像上我们可以看出，要使抛物线与x轴的两个交点在（-1，1）之间，必须满足条件：f（-1）＞0f（-）≤0f（1）＞0，即（a-1）＞0-a≤0（a+1）＞0,从而可解得a的取值范围为a≥或a≤-，且a≠±1。
2?郾利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题。
对于一些不规则的方程，通过构造两个函数，然后，把方程的根转化为两个函数的交点问题。例如：
例3：函数f（x）=lnx-的零点的个数是?摇?摇 ?摇?摇。
分析：函数f（x）=lnx-的零点的个数就是方程lnx-=0的解的个数，只要通过数形结合，画出函数的图像的交点的个数即可。
解：f（x）=lnx-的零点，即使lnx-=0，作函数y=lnx的图像和函数y=-的图像如图3所示，有两个交点，所以函数有2个零点。
3?郾利用函数的图像求不等式的解集。
求有关不等式的解集时，只要联想对应的函数的图像，便可直观地看出所求不等式的解集。例如：
例4：解不等式：＞x+1
解：设y=，即y=2x+x≥-，y≥0，对应的曲线是以A-，0为顶点，开口向右的抛物线的上半支，而函数y=x+1的图像是一直线，解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分（如图4），故得原不等式的解集是x|-≤x＜2。
三、利用数形结合思想比较函数值的大小
一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比较。例如：
例5：试判断0?郾3，log0?郾3，2三个数间的大小顺序。
分析：这三个数我们可以看成三个函数：y=x，y=logx，y=2在x=0?郾3时，所对应的函数值．在同一坐标系内做出这三个函数的图像（图5），从图像可以直观地看出当x=0?郾3时，所对应的三个点P，P，P的位置， 从而可得出结论：2＞0?郾3＞log0?郾3。
四、利用数形结合思想解决等式及最值问题
1?郾在一些恒等式中，很多要转化为点P（x，y）到直线ax+by+c=0的距离公式d=来求解，从而运用数形结合的思想方法，可以简化问题。例如：
例6：已知acosα+bsinα=c，acosβ+bsinβ=c（ab≠0，α-β≠kπ，k∈Z），求证：cos=。
分析：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程，进而由点A（cosα，sinα）与点B（cosβ，sinβ）坐标特点知其在单位圆上，在平面直角坐标系中，点A（cosα，sinα）与点B（cosβ， sinβ）是直线l：ax+by=c与单位圆x+y=1的两个交点（图6），从而|AB|=（cosα-cosβ）+（sinα-sinβ）=2-2cos（α-β），又∵单位圆的圆心到直线l的距离d=，由平面几何知识知|OA|-|AB|=d，即1-=d=，∴cos=。
2?郾在一些代数式的题目中求最值问题站在代数的角度看，令人茫然无措，若能运用数形结合的思想方法，则可以很快解决问题。例如：
例7：如果实数x、y满足等式x+y-4x+1=0，求的最大值。
分析：初看此题，形式上是一道代数题，站在代数的角度看，令人茫然无措，对关系式x+y-4x+1=0，很自然地与圆的方程联系起来，而恰为点（x，y）与原点连线的斜率，这便把问题与“形”结合起来。原题相当于如下的几何问题：动点P（x，y）在圆C上运动，求直线OP的斜率的最大值。通过观察图形，易得：当P在第一象限，并且OP与圆C相切时，OP的斜率最大，这时，∵PC⊥OP，∴tan∠POC===，即OP的斜率的最大值为。
数形结合思想在高中数学的思想方法中占有非常重要的地位，从上面所举的例子中，可以看出：数形结合思想的“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合；应用数形结合思想，就是要充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。
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