摘 要：试图解决万有引力定律的应用这一课教学中普遍存在的有效性不高的难题。将题目分为“环绕问题”和“表面问题”两大类，分别应用“基本方程”和“辅助方程”或者二者联合的思想方法，轻松解决计算和推理等题目。
关键词：万有引力定律的应用；环绕问题；表面问题；基本方程；辅助方程
笔者试图通过此文的论述，以期对同行在进行这一专题的教学有所裨益，避免今后复习时返工的尴尬情况。
一、模型的建立――“环绕问题”和“表面问题”
本章的研究对象总体来讲就是自然天体和人造天体，所面对的问题也是两大类，姑且称为环绕问题和表面问题。比如看到下面两个题目：
1.有两颗人造地球卫星，甲离地面800 km，乙离地面1600 km，求：（1）两者的向心加速度的比；（2）两者的周期的比；（3）两者的线速度的比。（地球半径约为6400 km）
2.某星球的半径为地球半径的m倍，密度为地球密度的n倍，若在地球表面上重力加速度为g，则在该星球表面上重力加速度大小g′为多少？
遇到这样的题目时，且不说其难度如何，我们首先应该引导学生，先别考虑怎么做的问题，而是要搞清楚这是环绕问题还是表面问题？很明显前者是环绕问题，后者是表面问题，培养好这种习惯后我们再进行下面的工作，否则遇到信息量更大甚至更抽象的问题，学生读完题后一头雾水，束手无策必然放弃解题。
二、解题的利器――“基本方程”和“辅助方程”
1.基本方程主要针对环绕问题，其思想核心是万有引力提供向心力。用于解决行星环绕恒星和人造卫星环绕某些天体做圆周运动的问题。难点在于其形式多样，需要根据题目的已知条件（环绕天体的运动信息）选择恰当的形式。
G■=m■=m?棕2r＝m（■）2r=ma
由此方程还可以得出环绕天体的线速度v、角速度?棕、周期T、向心加速度a与绕行半径r的关系，也可得到中心天体质量M的表达式。
2.辅助方程主要针对表面问题，其思想来源是地球或其他星球表面（或表面某高度处）的物体受到该星球的万有引力近似等于物体在该星球表面处受到的重力。这个方程应用的难点在于题目通常叙述简要，甚至好像连研究对象也没有，这需要我们引导学生创造一个研究对象，通常可以假设在该星球表面有一质量为m的物体，建立方程后才能解决此类问题。
G■=mg
辅助方程还有一个很重要的副产品就是“黄金代换式”即GM=gR2，其重要性不言而喻。
当研究对象处于星球表面h高处时辅助方程的形式应该为：
G■=mgh
此时可以得到星球表面h高处的重力加速度gh=G■。
三、策略的选择――环绕问题依靠基本方程，表面问题选择辅助方程，而更为复杂的问题必须把基本方程和辅
助方程结合起来方能奏效
有了清晰的思路以后，我们不妨小试牛刀解决几个常见问题，进一步体悟和巩固这种思想方法。
1.下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G是已知的）（）
A.地球绕太阳运行的周期T和地球中心离太阳中心的距离r
B.月球绕地球运行的周期T和地球的半径r
C.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r
D.月球绕地球运动的周期T和轨道半径r
解析：首先明确这是一个环绕问题，肯定要利用基本方程来求解，此外还要把式中各字母的含义弄清楚，要区分天体半径和天体圆周运动的轨道半径，分清已知和未知条件后列方程即可。
已知地球绕太阳运行的周期和地球的轨道半径只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量，所以A项不对。已知月球绕地球运行的周期和地球的半径，不知道月球绕地球的轨道半径，所以不能求地球的质量，所以B项不对。已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径，由G■=mr?棕2可以求出中心天体地球的质量，所以C项正确。由G■=mr■求得地球质量为M=■，所以D项正确。
2.宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t，小球落在星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为■L，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的质量M和密度ρ。
解析：同样的道理，首先要明确这是一个表面问题，必然要利用辅助方程求解，其关键就是要根据在星球表面物体的运动情况即平抛运动的规律求出星球表面的重力加速度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密度。
根据平抛运动的特点得出抛出物体竖直方向上的位移为y=■gt2
设初始平抛小球的初速度为v，则水平位移为x=vt，有（■gt2）2+（vt）2=L2①
当以2v的速度平抛小球时，水平位移为x′=2vt，所以有（■gt2）2+（2vt）2=（■L）2②
在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有mg=G■③
联立以上三个方程解得M=■
而天体的体积为V=■πR3，由密度公式ρ=■得天体的密度为ρ=■。
（作者单位 陕西省陇县温水中学）