摘要： 本文通过简介宋元数学的主要成就――曾乘开方法、高次方程求解法、大衍求一术、天元术、四元术等，说明宋元数学在整个数学史中占有重要地位。 关键词： 宋元数学 主要成就 影响
1.宋元数学概述
宋元数学，从时间上说它包括由北宋到元末大约四百年的时间。在此期间，涌现了许多优秀的数学家，其中最卓越的代表，如通常所说的“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等，在数学史占有重要的地位。同时期的欧洲正处在中世纪，中国数学家的光辉灿烂成就，在部分问题的解决上，远远走在世界前列。
宋元数学是在汉唐数学的基础上发展起来的，不仅贾宪、杨辉、秦九韶的数学著作都称为“九章”，前二者甚至就是《九章》的问题编集，而且更多的数学问题都来源于《九章》，如李冶、郭守敬等人的成果。由于雕版印刷术的发达，北宋王朝在元丰七年由官方的“秘书省”刊到了《九章算术》等汉唐以来的十部算经，作为学校的课本［１］。《算经十书》作为教科书被印刷出来，对宋元数学教育以至数学研究方面所产生的影响是不言而喻的。
宋元数学之所以成为中国古代数学发展的高峰，与其当时出现的杰出数学家及其对中国当时数学有巨大贡献的著作有密不可分的关系。以下我们就着重介绍宋元期间有重大影响的数学家及其著作。
贾宪，北宋数学家，宋元数学发展的“启动者”。他的许多数学成果在宋元时期得到较大发展，成为某些重要的数学专题。其中最著名的是解高次方程的“增乘开方法”。由此，我们可以看到与沿用古代开平方、开立方法发展起来的任意高次幂开方法一样，又一种与之并行的新的以“增乘方法”开任意高次幂的方法，后一种方法较前者有很明显的优越性，它不但比古法简单，而且经过刘益、秦九韶等人的工作，更发展成为我国数学史上大放光彩的高次方程的数值解法。
刘益，曾著有《议古根源》，现已失传，但其中的某些问题，曾被杨辉编入《田百比类乘除捷法》（公元1275年）一书之中。
秦九韶，南宋杰出的数学家之一。于1247年写成数学著作《数书九章》，共八十一题，分成九大类，每类各九题，九题又各立名目。
李治，其数学巨著为《测圆海镜》和《益古演段》。在这两本书中，李治对“天元术”进行了系统的叙述。
朱世杰，元朝著名数学家，其杰出的创作为《四元玉鉴》。朱世杰在此著作中把天元术由一个未知数推广到二元、三元及四元的高次联立方程组。这是中国中世纪数学家们继天元术之后的又一项杰出的创造。
2.宋元数学的主要成就
贾宪的增乘开方法的运算法则，不论开平方，开立方以至开任何高次幂都是一致的。刘益的正负开方术不仅可以求解一般方程式，而且并不拒系数正负，实在是一项杰出的成就。所以杨辉说“刘益以勾股之术治演段锁方，撰议古根源二百门带益隅（首项为负者）开方实冠前古。”继贾宪刘益之后，秦九韶进一步发展了“高次方程数值求解法”――“正负开方术”。杨辉《田亩比类乘除捷法》卷下引用了《议古根源》中的二十二个问题，其中仅即乘除而未用开方算法者有题二次的两项方程共七题，值得注意的是其中有如下两问，这两个问题相当于求解方程：7x２=9072，4x２=144，亦即它们的二次项系数不为1，就现有史料来看，这还是这种类型问题的首次出现。
与“高次方程数值求解法”同样闻名世界的秦九韶的另一杰出成就即是“大衍求一术”。《数书九章》中的大衍求一术发扬光大了整数论中一次同余式问题的解法，是他的得意之作，也是中国古代数学的一项伟大成就。秦九韶青年时曾在杭州向太史局佚职的人学习天文学，了解到了一些上元积年的推算方法。他把上元积年的推算法与《孙子算经》“物不知数”题的解法联系起来，写出了他的大衍求一术。李冶的“天元术”与现代代数教程中列方程的方法极为相似。“天元术”为中国古代数学找到了一种普通的列方程的方法。
朱世杰在《四元玉鉴》中，把天元术由一个未知数推广到二元、三元及四元的高次联立方程组，这是中国中世纪数学家们继天元术之后的又一项杰出的创造。祖颐在《后序》中说：“按天地人物立成四元，以元气居中，天勾（x），地股（y），人弦（z），物黄方（w），上升下降，左右进退，互通变化，乘除往来，用假象真，以虚向实，错综正负，分成四式，必以寄之，剔之，余筹易位，横冲直撞，精而不杂，自然而然，消而和会以成开方之式也。”［３］这段文字介绍出四元术的主要内容。
3.宋元数学的影响
上文所提宋元数学家的代表著作中提出许多具有世界意义的杰出成就，其中主要是贾宪、刘益、秦九韶的高次方程数值解法（增乘开方法），秦九韶的联立一次同余式的解法（大衍求一术），李冶《测圆海镜》中的立方程的方法（天元术），以及朱世杰的《四元玉鉴》中的多元高次联立方程的解法（四元术），除上文介绍的宋元数学家的杰出成就，还有杨辉的著作和朱世杰《算学启蒙》中的大部分内容反映了民间实用数学的迫切需要，并且对筹算计算方法进行了改革，使之简化，寻求各种“捷法”，改进各种计算用的“歌诀”，等等。朱世杰在《四元玉鉴》中还对各种有限项级数求和问题进行了研究，并在此基础上得出高次差的招差公式。
纵观古今，宋元数学家将前人的数学成就发展到一个更高阶段，而继宋元之后的明清数学发展缓慢，再没有明显的进步。因此说，宋元数学达到了中国古代数学登峰造极的地位。
如果把这些成就和世界上其他地区的同样成果相比较，宋元数学中的高次方程数值解法，实质上是和霍纳（W.G Horner，1819）方法相同的，如按奏九韶《数书九章》（1247）来进行比较，霍纳要晚出五百余年；朱世杰多元高次方程组的解法比别朱（E.Be’zowt，1775）早出四百余年，秦九韶联立一次同余式的解法比欧拉的解法早出五百余年，高次的招差法公式比格利高里和牛顿的公式早出三百七十年左右。可以看出：宋元数学不仅是中国古代数学史上光辉的篇章，同时还是中世纪世界数学史上最丰富多彩的一页，尽管是在中世纪交通极为不便的情况下，宋元数学对朝鲜、日本及西至北非地区某些国家之间数学知识的交流和发展仍都产生了一定的影响。
参考文献：
［1］钱宝琮.宋元数学史论文集［M］.科学出版社，1985.
［2］梁宗巨.世界数学通史［M］.辽宁教育出版社，2001.