旋转变换是一种全等变换，对应边相等、对应角相等；位似变换是一种相似变换，对应边成比例、对应角相等。在平面内，若先将一个多边形F以点O为位似中心在点O的同侧放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，再将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，得到多边形F′，我们称这种变换为旋转相似变换，记为O（k,θ）；称多边形F与多边形F′旋转相似，记为F F′。其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角。本文就旋转相似的判定、性质、应用进行探讨。
一 、旋转相似的判定
从旋转相似的定义出发，可以得到以下旋转相似的判定方法：
1.在平面内，如果多边形F以一点为旋转中心旋转变换后得到多边形Q，多边形Q以该点为位似中心位似变换后得到多边形F′，那么多边形F与多边形F′旋转相似.
2.在平面内，如果多边形F上所有点经旋转相似变换后组成多边形F′，那么多边形F与多边形F′旋转相似。
推论1：在平面内，如果多边形F上各顶点经旋转相似变换后顺次连接成多边形F′，那么多边形F与多边形F′旋转相似。
推论2：在平面内，如果多边形F上各条边经旋转相似变换后组成多边形F′，那么多边形F与多边形F′旋转相似。
二、旋转相似的性质
1.若多边形F与多边形F′旋转相似，则多边形F′与多边形F对应边之比相等，等于相似比；对应角相等。
2.若多边形F与多边形F′旋转相似，则对应点与旋转相似中心组成的三角形旋转相似。
推论：若多边形F与多边形F′旋转相似，则多边形F上与旋转相似中心距离相等的点与其对应点连线段长相等。
3.若多边形F与多边形F′旋转相似，则多边形F上任意一条线段所在直线到其对应直线的角等于旋转角。
4.若多边形F经旋转相似变换O （k ，θ ）后得到多边形Q，多边形Q经旋转相似变换O （k ，θ ）后得到多边形F′，则多边形F与多边形F′旋转相似，相似比k等于k ・k ，旋转角θ等于θ +θ 。
三、旋转相似性质应用
旋转相似在2007年中考中成为新宠，倍受青睐。下面以2007年中考题为例，谈谈旋转相似性质的应用。
例1.（2007长春）如图1，△AOB中，∠B＝30°，将△AOB绕点O顺时针旋转52°得到△A′OB′，边A′B′与边OB交于点C(A′不在OB上)，则∠A′CO的度数为（ ）。
A、22° B、52° C、60° D、82°
解：根据题意可得△A′OB′ △AOB，由性质3可得A′B′到AB的角∠B′O′B等于旋转角52°。所以∠A′CO=∠B+∠B′O′B =30°+52°=82°。
例2.（2007徐州）如图2，△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△CD′E′（使∠BCE′＜180°），连接AD′、BE′，设直线BE′与AC、AD′分别交于点O、F。（1）若△ABC为等边三角形，则 的值为?摇 ?摇，∠AFB的度数为?摇?摇。（2）若△ABC满足∠ACB=60°，AC= ，BC= ，求 的值和∠AFB的度数。
解：由题可知△CD′E′△CAB，由性质2可得△CAD′与△CBE′旋转相似，由性质1得 = ，由性质3得AD′到BE′的角∠AFB等于旋转角∠ACB。（1）若△ABC为等边三角形，则 = =1，∠AFB=∠ACB=60°。（2）若∠ACB=60°，AC= ，BC= ，则 = = = ，∠AFB=∠ACB=60°。
例3.（2007资阳）如图3，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F。
(1) 求证：BP=DP。
(2) 如图4，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明。
(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论。
解：（1）直线AC是正方形ABCD对称轴，由对称性可知BP=DP。（2）不是。当点P落在BC上时，BP＜BC=DC＜DP。（3）BE=DF。由题可知正方形ABCD与正方形PECF旋转相似，因为 B、D到点C的距离相等，由性质2的推论可得BE=DF。
例4.（2007南京）在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P′在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过放缩和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O(k,θ)，其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角。
（1）填空
①如图5，将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，这个旋转相似变换记为A（ ， ）；
②如图6，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换A( ,90°)，得到△ADE，则线段BD的长为_____cm；
（2）如图7，分别以锐角三角形ABC的三边AB，BC，CA为边向外作正方形ADEB、BFGC、CHIA，点O 、O 、O 分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用△AO O 与△ABI、△CIB与△CAO 之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段O O 与AO 之间的关系。
总之，运用旋转相似性质解有关旋转相似变换题，目标更明确，思路更清晰，过程更简洁，因而能大大提高解题速度。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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