摘要：本文评析了2007年浙江省高等数学微积分竞赛试题中的一些典型题目，以飨读者。 关键词：高等教学评析 微积分竞赛试题 2007年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题结构严格执行《考试大纲》的规定和要求，较全面地考查了学生的微积分基础知识、方法和技能，重点突出地考查了不定积分的凑微分法（第一题第1小题）、用等价无穷小代换求函数极限（第一题第2小题）、参数方程求导、变上限函数求导数（第一题第4小题）、高阶导数（第三大题）及函数的极值（第二大题），重点考查了学生对知识的理解、灵活运用程度，同时也考查了学生对所学知识应用于实际的能力（第五大题）以及考虑问题的全面性和对问题的等价转化能力等等。本考试的成绩能较真实地反映选手们的数学思维能力、逻辑思维能力以及处事的严谨性和有序性。本文就一些典型题目进行评析如下。
例1（第一大题第3小题）求p的值，使
。
解析：要使定积分等于零，一种情况是被积函数在积分区间上恒为零（此题不成立），一种情况是利用定积分的几何意义，定积分∫f(x)dx表示的是曲线y=f(x)与直线x=a，x=b，以及x轴围成的图形面积的代数和。本题利用换元法令x+p=t，得原方程等价于∫t e dt=0，显然被积函数f(t)=t e 的零点唯一（t=0），且为奇函数，故本题要使积分为0就只可能要满足积分区间关于原点对称，即a+p=-(b+p)，解得p=- 为所求。
评注：此题难度适中，主要考查了学生对定积分几何意义的理解，函数奇偶性，以及寂静积分的换元法的掌握程度，同时本题也能考查出学生对知识的理解与灵活运用程度。
例2（第二大题）设函数f(x)满足方程，e f(x)+2e f(π-x)=3sinx，x∈R，求f(x)的极值。
解析：这种类型题一般是先求出f(x)的表达式，然后再求它的极值。本题也不例外，对原方程中x换成π-x就能得到另外一个新方程，通过对已知方程和新方程的联立求解，就能求出f(x)= ，为可导函数，然后按常规的求解极值的办法，先求出f(x)的一、二阶导数，f′(x)= ，f″(x)=- ，然后令f′(x)=0求出驻点，x =kπ+ ，k∈Z，而f″（x ）的符号取决于k的奇偶性，分两种情况讨论就能判别出极值点的类型，并求出相应的极值（留给读者自己完成）。
评注：此题从题目来看，题型直观明了，但求解过程完整还是需要学生对各个知识点较熟悉，且考虑问题也得全面，如驻点有无穷多个，即为x=kπ+ ，容易给学生造成误区，只写出x= 或x=2kπ+ 的情形。
例3（第三大题）设f(x)= ，求f (x)。
解析：本题是对一个有理分式求高阶导数，分母为二次函数且可因式分解为一次式的乘积。而我们知道g(x)= 这种类型的函数高阶导数是易求的。本题可以采用先利用多项式除法，将原分式分解成一个多项式和一个真分式之和，然后将真分式分解成两个类似于g(x)的部分分式之和，即f(x)=x+2+ =x+2+ ( + )。
评注：本题考查了学生对有理分式中假分式分解能力以及g(x)= 这种类型的函数的高阶求导。
例4（第六大题）已知y=f(x)是[0，1]上二阶可导函数，且f(0)= ，f(1)=1，f′(1)＞1，证明：?埚ξ∈（0，1），使得f′(ξ)=1。
解析：此题要证?∈（0，1），使得f′(ξ)=1，而题中已知了f′(1)＞1，又由y=f(x)是[0，1]上二阶可导函数知，y=f(x)的一阶导数是连续的。我们只要能证明c∈（0，1），使f′(c)＜1，就能利用连续函数的介值定理证得结论成立。事实上，由f(0)= ，f(1)=1，及拉格朗日定理知，?埚c∈（0，1），使得f′(c)= = 成立。
评注：本题考查了学生对拉格朗日定理及介值定理的综合应用。这类证明题还是在2003年中出现过的。
高等数学（微积分）对文科和大专的学生来说，一直是一门学习难度较大的科目，一般教师把教学重点放在对基本概念的理解以及一些简单应用上，对于较复杂的计算和逻辑证明是不做要求的。而由省研究会主办的高等数学竞赛就提高了一些数学爱好者们对数学学习的兴趣和积极性，他们在课余也会自学一些高等数学，讨论一些数学问题，加深了对数学概念的理解和一些常用定理的应用证明，但是证明题仍然是他们的薄弱环节，这样的竞赛就考查出了学生对数学的一种自学能力。
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