享受数学诗意美

摘 要:高中学生最大的学习问题是数学核心素养的缺失。在高中数学教学中渗透数学文化是一种提高学生数学核心素养的尝试。数学诗意美对高中学生的数学学习兴趣能产生较大的影响,诗词中所蕴含的美好情感、数量形状、数学概念、数学方法等,都会激发高中学生的巨大兴趣,让学生通过学习诗意美中蕴含的数学知识方法和概念原理提高自身的学习能力,具有润物无声的效果。学生可在文理兼修中追求诗意美、数学美。

关键词:数学文化 数学核心素养 诗意美 DOI:10.12278/j.issn.1009-7260.2022.06.015

一、高中生现状分析

高中学生在学习数学的过程中困难重重,有知识体系方面的难度,比如函数性质、立体几何、圆锥曲线、排列组合等知识;有知识逻辑严密性方面的难度,比如算法、导数等知识;而最大的障碍是数学核心素养的缺失。让高中生逐渐喜欢数学并且形成较为系统的数学核心素养,是数学教育工作者需要探究和解决的重要问题。

二、数学诗意美的理解

张奠宙先生认为,数学教学中的美学教育有以下4个层次:美观、美好、美妙、完美。无独有偶,笔者认为每个同学必须要经历数学学习的四种情绪境界,在长期数学教学中根据学生的状态,概括引用四个动词和四句诗词来描述这四种境界:

第一境界:遭受。一川碎石大如斗,随风满地石乱走。

第二境界:忍受。此情无计可消除,才下眉头却上心头。

第三境界:感受。忽如一夜春风来,千树万树梨花开。

第四境界:享受。悠然心会,妙处难与君说。

数学与诗词本不是一家,数学是抽象思维活动,诗词是阐述心灵的文学艺术。在数学教学中,如果能恰到好处地将诗词引用到课堂上,能够帮助学生理解概念,掌握原理,提高解题效率。本文结合教学实际,简单梳理在数学教学中如何渗透数学的诗意美。

三、数学诗意美的类型及简单分析

(一)诗词蕴含美好情感

1.百岁山广告“水中贵族百岁山”

百岁山广告参考了1650年发生在斯德哥尔摩街头的一件事,52岁的笛卡尔邂逅了18岁瑞典公主克里斯汀。笛卡尔落魄又不愿接受别人施舍,每天只是拿着纸笔演算数学题,被路过的公主克里斯汀发现,随后她得知笛卡尔有过人的数学天赋。不久笛卡尔收到国王邀请,成为公主的数学教师。在随后的日子里笛卡尔和克里斯汀相爱了,国王驱逐并最终处死了笛卡尔,在笛卡尔死后,克里斯汀从国王扣留的回信中发现了笛卡尔写给她的情书中有r=a(1-sinθ)的数学坐标方程,这就是著名的“心形线”。她终于读懂了笛卡尔对她至死不渝的爱情。

在这个故事里,广告词“水中贵族百岁山”、以形表爱的著名图案“心形线”、对“爱情价更高”的绝妙诠释,无不显示出美妙而伟大的爱情力量,这是真正意义上的数学诗意美,不仅能讓学生对数学产生浓厚的兴趣,更会给学生带来美的享受体验。

2.如泣如诉的情诗——欧拉公式

欧拉公式:eiπ+1=0

心中既有i,何故不表白?

梦里合如1,醒时各分离。

春去春又来,e人空等待。

忍看花凋0,不是浪漫π。

数学插上了联想的翅膀,欧拉公式竟变成如泣如诉的情诗。诗中0、1、e、i、π等极具魅力内涵的数字或字母,在形式上若即若离,以谐音巧妙表达悲戚的感情。在幂的形式中,指数与底数的层级错位形象表达“e人空等待”的无奈。而“忍看花凋0”一语双关,既突出了公式左重右轻、化繁为简的走向特点,又突出从过程的煎熬到结果的不忍。在本诗中,学生能体会到诸如公式的内容与形式、过程与结果,巧妙的谐音、丰富的联想。尤其是“联想”恰好体现了“数学抽象”“直观想象”两个数学核心素养。

(二)诗词蕴含数量形状

1.著名的百羊问题

甲赶羊群逐草茂,乙拽一羊随其后。戏问甲及一百否?甲云所说无差谬。

所得这般一群凑,再添半群小半群。得你一只来方凑,玄机奥妙谁猜透?(《算法统宗》程大位)

该诗是著名的百羊问题。意思是一个牧羊人在放牧,有人牵着一头羊从后面赶来,问牧羊人“你这群羊有100只吗?”牧羊人说:“如果我再有这样一群羊,加上这群羊的一半又一半,连同你的这只羊,就刚好满100只,请问这群羊有多少只?”

现在来看,这是一道非常简单的数学题,设这群羊有x只,根据题意可得:

2x+x+x+1=100,解得x=36。

数学有三种语言:文字语言、图形语言、符号语言。熟练进行数学语言之间的转化,是学生应具备的基本素质。本诗反映出古人表达数学问题时语言的高度概括,能较好地考查学生对数学实际问题的阅读抽取能力、文字语言向符号语言转化的能力,也考查了具有四两拨千斤功效的方程思想。题目不难,意义重大。

2.数学点线面体

(1)两个黄鹂鸣翠柳,一行白鹭上青天。窗含西岭千秋雪,门泊东吴万里船。(杜甫《绝句》)

全诗一句一景,对草堂周围明媚秀丽的春景进行了细致入微的刻画。从点线面体的递进纬度,勾画出四幅独立又相关的冬日和谐的立体画卷。把数学中的点线面体刻画得淋漓尽致。

(2)大漠孤烟直,长河落日圆。(王维《使至塞上》)

诗中既有直线“孤烟”和平面“大漠”的线面垂直关系,又有平面视觉的落日圆和地平线相离、相切、相交的直线和圆的位置关系,从中可以让学生形象地理解直线和圆的位置关系、理解线面垂直关系。诗中有画,形神兼备。

3.时间与空间

前不见古人,后不见来者;念天地之悠悠,独怆然而涕下。(陈子昂《登幽州台歌》)

诗人站在历史长河中,以自己为原点画出一维数轴,瞻前顾后刻画了时间绵长,天地悠悠刻画了空间辽阔,呈现出三维立体几何空间。全诗将时间和空间放在一起思考,能让学生感受到自然的伟大,个体的渺小,能对大自然产生敬畏之心,以至于怆然涕下。同一首诗里,时间与空间的概念,有限与无限的概念,一维到三维的递进,都呈现在眼前,体现出诗人陈子昂是时空构图方面的高手。

4.阴阳平衡对称美

空山新雨后,天气晚来秋。明月松间照,清泉石上流。(王维《山居秋暝》)

王维为我们勾画出一幅美妙的太极图,表达了你中有我的和谐之美与数学的对称美,这首诗是在表达秋天雨后傍晚清新湿润的清爽气候,同时,大自然安静和谐太极图的中心对称美,更具有哲学层面的禅意。

(三)诗词蕴含数学概念

1.极限概念

(1)故人西辞黄鹤楼,烟花三月下扬州。孤帆远影碧空尽,唯见长江天际流。(李白《黄鹤楼送孟浩然之广陵》)

本诗第三句“孤帆远影碧空尽”描述了随着时间的推移,好友的船渐渐地消失在海平面上,由大到小最后彻底消失。其实那船还依然存在于江面,只是已不在李白的视野中,比较形象地描述了极限的概念。该句已经成为广大教师在极限教学中最常引用的诗句。

(2)无边落木萧萧下,不尽长江滚滚来。(杜甫《登高》)

该诗中,前一句是“具象无限”,“所有的落木”这个看得见摸得着的具象无限被我们一览无余。而后一句是“抽象无限”,不可数名词长江水没完没了“滚滚”而来,尽管到现在为止还是有限的,却永远不会停止。两种无限,却都共同体现出悲壮的人文情怀。

2.整体与局部概念

天街小雨润如酥,草色遥看近却无。最是一年春好处,绝胜烟柳满皇都。莫道官忙身老大,即无年少逐春心。凭君先到江头看,柳色如今深未深。(杜甫《早春呈水部张十八员外二首》)

“草色遥看近却无”这句诗相当传神和有哲理。整体的草色只能遥看,一旦近了,处于局部状态,那种“草色”就“近看无”了。刻画的是整体和局部的关系。在高中数学解题过程中,学生经常会遇到审完题无从下手的困惑。如果能将问题化整为零各个击破“先到江头看”,往往会打通思路,使问题迎刃而解。

3.零点存在定理

松下问童子,言师采药去。只在此山中,云深不知处。(贾岛《寻隐者不遇》)

作者从文学角度描述的是“云深不知处”的苍茫意境,而从数学的角度来看,我们会更加关注隐者在山中的不确定性。他到底在哪里?云深不知处,但是他确实就在此山中,这不就是数学中的零点存在定理么?那个x0在哪里,我们不知道,但是的确存在于山中,存在于x0∈[a,b]中。想象一下,学生在这首诗的启发下去理解零点存在定理,会更加形象直观,豁然开朗。

4.诗词表达函数

白日依山尽,黄河入海流。

欲穷千里目,更上一层楼。(王之涣《登鹳雀楼》)

这绝对是一首美妙的好诗,字字有诗意,句句是函数。让学生产生对数学的无限向往。下面以几个具体的函数表达式来粗线条解读诗句所描述的函数图像。

白日依山尽。函数f(x)=│3sinx+│sinx,x∈[0,2π]的图像犹如两座高低不一的大山,太阳从两山之间落下,描述了黄昏白日依山尽的画面。

黄河入海流。函数f(x)=sin4x的图像如滚滚波涛,奔腾入海流。

欲穷千里目。椭圆(x-2)2+y2≤1与圆(x-2)2+4y2=4的公共区域恰如一只眼睛,非常形象地勾畫出一只千里目。

更上一层楼。取整函数f(x)=[x]是左开右闭的分段函数,层层递进,更上一层楼。

在中学时代,教师除了给我们分析这首诗句的函数特点之外,还与学生一起追问,更上一层楼是多高?是我们现代人一层楼3米高么?不妨做个估算:

我们把地球近似看作球体,PA为视线,与球面相切于点A,于是OA⊥PA,根据题意PA=1000里=500公里,地球半径为OA=R=6370公里,设楼高PB=x,则有(x+R)(x+R)2=R2+PA2,解得x=19.6公里。所以千里目就是19.6公里,按当前每层楼3米计算,需要登上6534层楼的高度才可穷千里目。大家熟悉的上海东方明珠塔高468米,所以折合下来相当于418个东方明珠塔的高度。可见古人的想象力之丰富,气魄之庞大。

(四)诗词蕴含数学方法

1.反证法

若言琴上有琴声,放在匣中何不鸣?若言声在指头上,何不于君指上听?(苏轼《琴诗》)

该诗颇有特色,以疑问句形式表述,还蕴含着数学反证法。如果“琴上有琴声”是正确的,那么放在匣中应该“鸣”。现在既然不鸣,那么原来的假设“琴上有琴声”就是错的。由此可见,人文的论辩和数学的证明,都需要遵循逻辑规则。数学解题中的反证法运用的是正难则反的思路,若正面求解困难,则可以从结论的反面出发,先否定原结论不成立,然后顺着否定的假设推理,直到推出矛盾,即意味着假设的结论不成立,于是原命题成立。

2.多角度看问题的转化思想

横看成岭侧成峰,远近高低各不同。不识庐山真面目,只缘身在此山中。(苏轼《题西林壁》)

诗中蕴含着化归与转化思想、发散思维、一题多解;同时还蕴含着三视图。从不同视角看几何体,会得到不同的直观图,即立体几何三视图。本诗前两句给学生的启示是要善于从不同视角看数学问题,可建构一题多解策略,训练学生思维的发散性和灵活性。后两句是说解题局部受阻时不妨从整体去把握,模糊地分析可能会有更好的效果。

3.变与不变的思想

朱雀桥边野草花,乌衣巷口夕阳斜。旧时王谢堂前燕,飞入寻常百姓家。(刘禹锡《乌衣巷》)

沧海桑田,物是人非。旧时达官显贵早已烟消云散,曾经居住的地方也变成寻常老百姓的院落,可燕子却不管这些,依旧飞回原来的栖息地筑巢。人生易老天难老,物质是永恒不变的,所以要珍惜当下。该诗还蕴含着数学中的变与不变的思想,也就是常量与变量思想。

数学文化的魅力一旦渗入到学生学习活动中,数学就会变得更加平易近人;当数学诗意美一旦融入数学文化活动中,诗词中所蕴含的美好情感、数量形状、数学概念、数学方法等,就会激发高中学生的巨大兴趣。诗意的凝练寄托、巧妙寓意就会让学生在感性中喜欢数学、实践中理解数学、整体上热爱数学。

参考文献:

[1] 尤善培《追求诗意的数学课堂》,《基础教育参考》2014年第1期。

[2] 郑毓信、王宪昌、蔡仲《数学文化学》,四川教育出版社1999年。

[3] 张奠宙、木振武《数学美与课堂教学》,《数学教育学报》2001年第11期。

[4] 尤学慧《HPM视角下的初中数学课堂教学实践》浙江师范大学2009硕士论文。

(贾会新,中学高级教师,硕士,研究方向:数学解题、数学文化)

(本文为作者主持的甘肃省教育科学“十四五”规划2021年度一般课题“基于核心素养的数学文化在高中数学教学中的实践研究”阶段成果之一,立项号:GS[2021]0701)

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