解析几何中的直线与曲线的关系一直是超级热点,而中点及其相关问题更是经久不衰.这里将对中点弦的存在域给出直观图示,并导出神奇快捷的中点弦方程、弦中点轨迹方程等公式,使解题事半功倍.
记F(x,y)=Ax�2+Bxy+Cy�2+Dx+Ey+F,F(x�0,y�0)=Ax�2�0+Bx�0y�0+Cy�2�0+Dx�0+Ey�0+F,F�*(x,y)=Ax�0x+Bx�0y+xy�02+Cy�0y+Dx+x�02+Ey+y�02+F,
C表示曲线F(x,y)=0.
一、中点弦存在域
中点弦是指C中过点M(x�0,y�0)的弦中,以M为中点的弦.当点M在椭圆或抛物线的内部(不含边界)时,过点M的中点弦一定存在.若M不是椭圆中心,该中点弦只有一条,否则有无数条.抛物线内的中点弦只有一条.当点M不在双曲线与渐近线所夹的区域(含边界)时,以M为中点的弦一定存在.若M不是双曲线中心,则该中点弦只有一条,否则有无数条.相应的存在域如下图阴影部分所示.
图1_____图2
图3
二、中点弦所在直线方程公式
若曲线C:F(x,y)=0存在以M(x�0,y�0)(非曲线中心)为中点的弦L,则L所在的直线方程是F�*(x,y)=F(x�0,y�0).(1)
证明:设L与C交于A、B两点,易知C关于点M对称的曲线C′的方程为F(2x�0-x,2y�0-y)=0.
∵A、B两点均在C与C′上,也在直线L:F(x,y)-F(2x�0-x,2y�0-y)=0上,
整理得(Ax�0+B•y�02+D2)x+(y�0+�B•x�02+�E2)y+F=F(x�0,y�0).(2)
由平移变换知,
满足Ax�0+B•y�02+D2=0,�Cy�0+B•x�02+E2=0的点(x�0,y�0)恰好是C的中心点.
而M非C的中心,故(2)式中x,y的系数不全为0,因此(2)表示一条直线,此即C中过M点的中点弦所在直线.
三、弦中点轨迹方程公式
过定点P(x�0,y�0)作C的许多弦,所有这些弦的中点轨迹方程为
C�*:F(x,y)=F�*(x,y).(3)
证明:设C中过P的任一弦为AB,AB的中点为M(x,y),则AB所在的直线相当于C中过点M的中点弦,其方程为L:Ax�1x+�Bx�1y+y�1x2�+Cy�1y+Dx�1+x2+Ey�1+y2+�F=Ax�2�1+�Bx�1y�1+Cy�2�1+Dx�1+Ey�1+F,
而L必过定点P(x�0,y�0),将x=x�0,�y=y�0代入上式得Ax�2�1+Bx�1y�1+Cy�2�1+Dx�1+Ey�1+F=Ax�0x�1+Bx�1y�0+x�0y�12+Cy�0y�1+Dx�1+x�02+Ey�1+y�02+F.
由点M(x�1,y�1)的任意性,将(x�1,y�1)换成(x,y),即得弦中点轨迹方程为:
Ax�2+Bxy+Cy�2+Dx+Ey+F=�Ax�0x+B�x�0y+xy�02+Cy�0y+Dx+x�02+�Ey+y�02+�F,即为(3)式.
不难看出,上述弦中点的轨迹是C�*在C内的那部分曲线(一般是弧线).
四、切线及切点弦所在直线方程公式
设C与直线L交于A、B两点,M(x�0,y�0)为AB的中点,由切线定义知,当A、B两点无限接近时,L变成了C的切线,M点即成了切点.
由中点弦公式得C上在点M(x�0,y�0)的切线方程为
F�*(x,y)=0,
即Ax�0x+B•x�0y+xy�02+Cy�0y+�Dx+x�02�+Ey+y�02+F=0.(4)
若过定点P(x�0,y�0)能作圆锥曲线C的两条切线PA、PB,A、B为切点,则连结两切点的弦AB所在的直线方程也是
F�*(x,y)=0.(5)
证明:设A(x�1,y�1),B(x�2,y�2),
由切线方程(4)知:PA所在的直线方程为Ax�1x+Bx�1y+xy�12+Cy�1y+D•x�1+x2+Ey�1+y2+F=0,
PB所在的直线方程为Ax�2x+�B•x�2y+xy�22+�Cy�2y+D•x�2+x2+E•y+y�22+�F=0.�
这相当于(5)式代表的直线过A、B两点,根据两点确定一条直线知,A、B所在的直线方程为(5)式.
不难看出切线(或切点弦)方程相当于将F(x,y)=0中的x�2、xy、y�2、x、y分别用x�0x、x�0y+xy�02、y�0y、x+x�02、y+y�02替换,常数F不变,而中点弦与切线(或切点弦)方程只相差一个常数F(x�0,y�0),为便于记忆,可如下表示:�
F�*(x,y)=0…切线或切点弦;�F(x�0,y�0)…中点弦所在直线;�F(x,y)…弦中点轨迹.
值得注意的是,在使用上述公式时,必须把原曲线方程右边的所有项先移到左边.
五、应用举例
【例1】 给定双曲线2x�2-y�2=2,过�B(1,1)�能否作直线m,使m与双曲线交于Q�1、Q�2两点,且B是Q�1、Q�2的中点.
解法一:因点B在原双曲线与其渐近线y±2x=0所夹的区域内,根据中点弦存在域知,直线m不存在.
解法二:假设直线m存在,根据中点弦方程公式知,m应为2x�0x-y�0y-2=2x�2�0-y�2�0-2,这里(x�0,y�0)=(1,1),代入得
2x•1-y•1-2=2×1�2-1�2-2,
即y=2x+1.(6)
将(6)代入原双曲线方程得2x�2+4x+3=0,其判别式Δ=4�2-4×2×3=-8 将x�0=0,�y�0=0代入得x�2-3x+y�2=0即为所求.
【例5】 已知直线L�1:x-3y+10=0,L�2:2x+y-8=0,过M(0,1)作直线L分别交L�1、L�2于P�1、P�2两点,使点M是P�1P�2的中点,求直线L的方程.
解:若两条直线L�1、L�2相应的曲线C为(x-3y+10)(2x+y-8)=0,
即2x�2-5xy-3y�2+12x+34y-80=0.
根据中点弦方程公式得
2x�0x-5•x�0y+xy�02-3y�0y+12•x+x�02+34•y+y�02-80=2x�2�0-5x�0y�0-3y�2�0+12x�0+34y�0-80,
将x�0=0,�y�0=1代入整理得L的方程为x+4y-4=0.
【例6】 过点P(4,3)作直线与两坐标轴正向分别交于A、B两点,若|PA|=|PB|,求AB所在的直线方程L.
解:两坐标轴相应的曲线C为xy=0.
根据中点弦方程公式得L:x�0y+xy�02=x�0y�0,
将x�0=3,�y�0=4代入整理得L:3x+4y-24=0.
六、巩固练习:
1.直线y=1-x交椭圆mx�2+ny�2=1于M、N两点,弦MN的中点为P,若斜率K��OP�=22(O为坐标原点),则m/n的值是().
�A.1B.2C.22D.2�
2.经过抛物线y�2=4x的焦点的弦的中点的轨迹方程是().
�A.�y�2=x-1�B.�y�2=2(x-1)
�C.�y�2=x-12�D.�y�2=2x-1
3.已知点P(x�0,y�0)为椭圆x�2a�2+y�2b�2=1�(a>b>0)内�且不在x轴上的一点,则过点P且被P平分的弦的斜率为 .
4.由点P(3,4)作圆x�2+y�2=1的两条切线PP�1、PP�2,则切点弦P�1P�2所在直线的方程为 .�
5.求与椭圆x�29+y�24=1相交于A、B两点,且点M(1,1)恰为弦AB的中点的直线方程.
图4
6.已知直线L和双曲线x�2a�2-y�2b�2=1及其渐近线依次相交于A、B、C、D四点,如图4所示,求证:�|AB|=|CD|�.
7.已知在抛物线y�2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称,求实数k的取值范围.
8.已知点�A(2,8),B(x�1,y�1)�,C(x�2,y�2)在抛物线y�2=2px上,
图5
△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合(如图5).
(1)写出该抛物线的方程和焦点F的坐标;
(2)求线段BC中点M的坐标;
(3)求BC所在直线的方程.
9.定长为3的线段AB的两端点在抛物线y�2=x上移动,记线段AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.
10.设直线l过抛物线�y�2=2px(p≠0)�的焦点,并且与这抛物线交于两点,求证:对于这抛物线的任何给定的一条弦CD,直线l不是CD的垂直平分线.
参考答案或提示:
1.�C�;
2.�B�;
3.-b�2x�0a�2y�0;
4.3x+4y-1=0;
5.4x+9y-13=0;
6.证明BC的中点也是AD的中点;
7.-1