【利用复合函数求导解应用题】复合函数利用导数定义求导

　　一、复合函数求导法则� 　　若y=f(μ),μ=g(x),则函数y=f［g(x)］称为由y=f(μ)与μ=g(x)复合而成的函数.其求导法则为： y′�x=y′�μ・μ′�x.�
　　二、复合函数求导解应用题�
　　例1（课本�P�40）水波的半径以50 �cm/s�的速度向外扩张，当半径为250 �cm�时，圆面积的膨胀率是多少？�
　　解法一：�
　　设时间为t，r=50t,�
　　当r=250 �cm�时，t=5,�
　　则S = �π�r�2 = 2500�π�t�2,S′ = 5000�π�t,�
　　S′|��t = 5 � = 25000�π�(�cm�2/s)�.�
　　解法二：�
　　由S=�π�r�2得�
　　S′�t=2�π�r・r′�t�
　　∴ S′�t|��r = 250 � = 2�π�・250・50 = 25000�π�(�cm�2/s�). �
　　答：圆面积的膨胀率是25000�π��cm�2/s.��
　　
　　例2（课本�P�40）酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8 �cm�，上口宽6 �cm�，水以20 �cm�3/s�的流量倒入杯中，当水深为4 �cm�时，求水升高的瞬时变化率.�
　　解法一：设时间为t,水的高度为h，对应的底面圆半径为r,则r=38h,�
　　由13�π�r�2・h=V,
　　∴h=364V3�π�,V=20t,
　　当h=4时，t=3�π�20.�
　　所以建立h关于t的函数关系式为h=360×649�π�・t��13�,
　　h′=13360×649�π�・t��－23�,�
　　则h′|��t = 3�π�20 � = 809�π�(�cm/s�).�
　　
　　解法二：V=�π�3・964h�3=364�π�h�3�
　　V′�t=964�π�h�2・h′�t�
　　∴ 20 = 964�π�・4�2・h′�t|��h = 4 ��
　　∴ h′�t|��h = 4 � =809�π��(cm/s�).�
　　答：水升高的瞬时变化率为809�π� �cm/s�.�
　　
　　点评：�
　　例1中，S=f(r),r=g(t);
　　例2中，V=f(h),h=g(t),
　　于是S′��t�=S′��r�・r′��t�，
　　V′��t�=V′��h�・h′��t�,
　　不同的是，例1通过S′�r,r′�t求S′�t，
　　例2通过V′�t,V′�h求h′�t，充分体现了方程思想在复合函数求导法则中的灵活运用.�
　　
　　例3一人以3 �m/s�的速度沿地面向高为100 �m�的建筑物走去，当此人距离建筑物50 �m�时，他与建筑物顶部的距离的改变率为多少？�
　　
　　解：如图所示，设AC=50 �m�，从A又走了x �m�，则此时他与
　　建筑物顶部的距离y=100�2+（50－x）�2�
　　∴y′�t=12100�2+(50－x)�2・2(50－x)・(－1)・x′�t,�
　　∴ y′�t|��x = 0 � = 1212500・(-100)・3 = -355(�m/s�)�
　　答：他与建筑物顶部的距离的改变率为－355�m/s.��
　　三、小结�
　　上述问题的变化率都是相对于时间t而言的，而解题需要建立的目标函数y与时间t的关系并不直接，有一中间变量μ,即它们的关系y=f(μ),
　　μ=g(t),所以我们要求的y′��t�可以通过y′��μ�・μ′��t�来求解或通过y′��t�，y′��μ�来求μ′��t�.�
　　（作者：谭爱平，江苏省泰兴市第三高级中学)
　　