编者按：2011年12月28日，在总结数年来全国课改实验的基础上，国家教育部正式颁发了2011年版的《义务教育课程标准》，并将于2012年秋季开始实施。课程标准是国家课程的纲领性文件，是国家对基础教育课程的基本规范和要求，是教材编写、教学、评估和考试命题的依据，是各个学科教师教学活动的指导蓝本。各学科教师对新课程标准学习和掌握程度，直接关系到教师对教材的理解、目标的确立、方法的选择，也关系到课堂教学效率，最终影响到教学质量，因此教师对新课程标准的学习显得十分重要和迫切。为此，本刊特约各学科专家对新版课程标准进行解读，在上期推出文科各科解读之后，本期继续推出理科各科解读，希望对教师更好地学习、理解、实施新课标有所帮助。
在数学学科，此次修订最引人注目的是，新的课程标准终于在实验稿的基础上开启了破冰之旅，颇有力度地扭转了曾坚持近60年的“双基”、“双能”传统课程目标导向。从“双基”到“四基”、从“双能”到“四能”，新课程目标在原来的“双基”基础上增加了“基本思想”和“基本活动经验”，在原来的“两能”基础上增加了“发现和提出问题的能力”，从更多方位拓展了数学基础教育的内涵，在更高层面增益了数学课程教学的价值，让课程标准的内容、精神和理念都更好地反映了数学教育教学的本质。
一、数学课程标准的主要变化与修订主旨
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称为“新课标”）由前言、课程目标、课程内容、实施建议和附录等部分组成。前言部分对“课程性质”、“课程基本理念”和“课程设计思路”作了明确的说明；课程目标部分分为总体目标与学段目标，总体目标指出通过义务教育阶段的数学学习学生能达到的目标，学段目标按知识技能、数学思考、问题解决、情感态度的顺序分别给出了三个学段的具体学习目标；课程内容部分分别阐述了三个学段中“数与代数”、“空间与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”等四个领域的内容标准；实施建议部分给出了教学建议、评价建议、教材编写建议、课程资源利用和开发建议等方面的内容；在附录中，附录1对有关行为动词进行了诠释，附录2列举了许多课程内容及实施建议中的实例。与《义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称为“实验稿”）相比，前言部分“课程性质”是新增的，“课程内容”原为“内容标准”，新课标建议的课程内容仍为“四纵、四横”结构，四条纵线是“知识技能、数学思考、问题解决、情感态度”，四条横线是“数与代数、空间与几何、统计与概率、综合与实践”。现对新课标与实验稿逐项比较分析如下：
1.数学观：新课标认为数学是研究数量关系和空间形式的科学，是作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。实验稿认为，数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程，数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。相比之下，新课标的描述更为通俗、简明。
2.课程基本理念：新课标将实验稿的“人人学有价值的数学，人人获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”改为“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”，并分别从数学课程、课程内容、教学活动、学习评价与信息技术等五个方面进行陈述。其中，“课程内容”是新增的，“教学活动”由实验稿的“数学学习”与“数学教学活动”整合而成，实验稿中关于数学学科性质的陈述被移至前言开篇位置。
3.课程设计思路：包含“学段划分”、“课程目标”与“课程内容”等三个部分内容，其中，“课程内容”分别对“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”等部分的主要内容作了说明，接着又对“数感”、“符号意识”、“空间观念”、“几何直观”、“数据分析观念”、“运算能力”、“推理能力”、“模型思想”、“应用意识”和“创新意识”等关键词给出具体的描述。在实验稿里，“图形与几何”原称“空间与图形”，“综合与实践”原称“实践与综合应用”。
4.课程目标：新课标将实验稿的“双基”发展为“四基”，将“双能”发展为“四能”。新课标认为，数学教学要在学生掌握“基础知识”、训练“基本技能”的过程中引导学生领悟数学“基本思想”、积累数学“基本活动经验”，在培养学生“分析和解决问题的能力”的同时还要培养学生“发现和提出问题的能力”。课程的另一个目标是：数学教学要帮助学生养成“认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑”的学习习惯。
5.课程内容：新课标统一使用了规定的课程目标术语进行规范的表述，对四个模块的教学要求进行了较多改写，增补或删减了许多内容，从总体上看，各模块的知识内容都有所减少，教学的要求也有所降低。比如，“图形与几何”第三学段内容在结构上发生较大变化：实验稿是从“图形的认识”、“图形与变换”、“图形与坐标”、“图形与证明”等四个方面展开的，而新课标则是从“图形的性质”、“图形的变化”、“图形与坐标”这三个方面展开，其中“图形的性质”是原来的“图形的认识”与“图形与证明”两部分的整合，内容减少了，也相对变容易了。
6.实施建议：与实验稿相比，新课标不再分学段，而是按教学建议、评价建议、教材编写建议、课程资源利用和开发建议等几项内容进行阐述。“实施建议”在强调重视学生在学习活动中的主体地位的同时，更明确地指出，数学教师在课堂要发挥主导作用，应成为学生学习活动的组织者、引导者和合作者，并分别给出能体现教师的“组织”、“引导”和“合作”作用的各个方面，认为“好的教学活动，应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一”。
7.附录：新课标增添了多个可以帮助教师理解课程标准的实例，并给出教学设计思路和教学过程建议。
从课程标准内容的整体变化情况看，为了让学生的数学文化素质能更好地适应新世纪社会发展，课标在修订中进一步认清了国际数学基础教育发展的主流形势，清醒地认识到我国当前数学基础教育存在的主要缺陷与不足，立足于调整培养目标的主旨，调整课程内容，力争使数学的教育教学能更加关注学生活动经验，更加重视数学基本思想的概括与感悟过程，以更好地反映数学学习的本质特征；改变培养模式，力争使数学的教育教学能重视培养发现问题与提出问题的能力，突出数学“问题解决”的内在涵义，削减常规、机械的重复训练，以实现数学教学方式的根本变革；改进实施建议，力争使数学的教育教学能更加重视学生兴趣爱好的培养与智慧潜能的发掘，更着重于创新探索与实践应用能力的培养，以增强学生持续发展的动力和终生学习的愿望。 二、新课程标准的精神实质与理念创新
义务教育新课程标准的正式颁发，对课程教学改革有重大影响。各学科课程标准修订中整体强调的教育理念是：落实德育为先理念，突出德育的时代特征；强调能力为重，促进学生全面发展；狠抓落实，深化教学和评价改革。数学学科在坚持落实整体理念的基础上，根据数学与数学教学的学科特点，针对义务教育数学课程改革现状，对实验稿进行了适切的修改，在理念上进行了拓展创新，更好地阐述了以下若干富有时代特色有利于进一步促进数学课程改革的精神与理念。
1.既要使每一个学生都能获得良好的数学教育，又要为数学英才提供广阔的发展空间
数学与人类发展和社会进步息息相关，广泛应用于现代社会生产和日常生活的各个方面，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。为了体现义务教育的普及性、基础性和发展性，新课标认为，数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。“面向全体”和“人人都能获得良好的数学教育”体现了教育的公平理念，倡导课程教学要为每一个学生提供各种发展的机会，不仅要使学生获得数学的知识技能，而且要把知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面目标有机结合，让学生逐步感悟数学的基本思想，获得基本活动经验。“能适应学生个性发展的需求”并使“不同的人在数学上得到不同的发展”，意味着课程内容应具备层次性和多样性，课程教学要正视差异，适应需求，因材施材，努力开启学生的智慧潜能，依潜质不同，使各类学生在数学上得到相应发展，并能为极少部分的数学英才提供很广阔的发展空间。
新课标这一理念取向与当今国际数学基础教育的主流基本一致。《新西兰数学课程标准》明确指出，数学课程应能帮助学生发展数学特殊才能，所提出的“适应个体需要”体现了新西兰国家课程的一条基本原则，即所有学生都能够充分发展，都能够获得最大限度发挥潜力的机会；美国中小学课程与评估标准也非常重视教育公平问题，认为教育公平是标准内容的核心要素，每一个学生，不论其个性、背景等客观因素如何，都享有接受良好数学教育的均等机会，有权利获得必要的帮助。同时它也认为，“公平并不意味着每一个学生都要接受同一模式的教学；相反，是指根据学生不同的需求，创造或提供有针对性的、恰当的教育，以促进所有学生的数学学习进程。”
在20世纪大部分时间里，美国社会对公民整体的数学素养都非常重视，早于1990年，美国国家研究委员会就已在《加强美国的数学：20世纪90年代的计划》中指出：“没有相当的数学知识就是没有文化，就是文盲；面临的任务不是扫文化盲而是扫数学盲，数学是保持美国科学实力的关键因素。社会要求人们掌握一定的数学方法。数学地理解问题、数学地思考问题、数学地解决问题，不仅影响着人们的思维方式，而且影响着人们的生活方式和价值观。”与此同时，美国社会也非常重视数学英才的培育，由政府、社区、学校、家庭共同营造的特殊培养环境，总是千方百计地让获得选拔和培养机会的学生在成长过程中保持兴趣、好奇心、想象力和参与创造的积极性，其所培养的大量数学英才正是美国始终保持强盛实力的最关键因素。数学英才的培养有赖于国民整体数学素养的提升，二者并不存在矛盾：我国乒乓球世界明星屡屡诞生，只会促进而不会阻碍国民参与这个运动的积极性；在美国，对数学英才培养的重视也并没有对整个学生群体造成影响，形成压力，“大部分过着普通生活的人仍然无悔于他们的选择，享受着他们自己选择的生活方式所带来的快乐”。
2.义务教育阶段，学习兴趣的激发、培养与保持是关键
新课标共有27次用到了“兴趣”一词，在“课程基本理念”中指出：“数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维”；在“课程设计思路”指出：“义务教育阶段数学课程的设计，充分考虑本阶段学生数学学习的特点，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发数学思考”；在课程总目标中提出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和实事求是的科学态度”；在“教学建议”中指出：“因此，无论是设计、实施课堂教学方案，还是组织各类教学活动，不仅要重视学生获得知识技能，而且要激发学生的学习兴趣……”；在“教材编写建议”中指出：“教材应具备可读性，易于学生接受，激发学生学习兴趣，为学生提供思考的空间。”同时还指出：“教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用、以及数学发展史的有关材料，帮助学生了解在人类文明发展中数学的作用，激发学习数学的兴趣，感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美”。
义务教育阶段，青少年学生正处于懵懂状态，其正常的生活是以玩为主，与之相对应地，学校里的学习也应该是愉快、有趣和令人向往的，但是，沉重的应试压力、超负荷的课业负担都会将这些美好的东西破坏无遗，甚至迁化到与之对立的反面。爱因斯坦曾经说过：“在学校里和在生活中，工作的最重要动机是工作中的乐趣，是工作获得结果时的乐趣，以及对这个结果的社会价值的认识。启发并加强青年人的这些心理力量，应是学校教育最重要的任务。”我们必须牢记一个最简单的道理：兴趣是最好的老师。兴趣也是数学教学永恒的主题，数学学习和研究都需要长时间持续的思考并付出很大的努力，对于数学英才的培养而言，没有兴趣，就不可能有长年累月的专心致志，也不可能臻于全身心投入的忘我之境。
3.既要注重学生在学习中的主体地位，又要客观看待数学教学中教师的主导作用
新课标在“课程基本理念”中指出：有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者；认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式；在教学中，教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验；在课堂教学活动中，教师应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维。 新课标对数学课堂中教师的地位与主导作用的认识更加客观。数学既是抽象的，又是深刻的，因而在表面上显得枯燥，在内容上又显得难以理解而且令人生畏。所以，数学课堂既要避免单纯灌输式的教育方法，又不可忽视教师的主导地位。在数学课堂，教师可激发学生学习兴趣，促进学生理解进程，改善学生理解方式，激发学习的自信心，引导学生领悟学科思想智慧。许多教育发达的国家都非常重视数学教师在课堂上的主导地位，《美国中小学课程与评估标准》认为，学生的数学学习与教师所提供的个人理解数学的经验有很大关系，“学生对数学的理解、用数学解决问题的能力、对数学的自信和态度都取决于他们在学校所受的教学。”不仅如此，他们还使用各种方法吸引那些最优秀的人才加入教师队伍，新近美国总统奥巴马更是疾声呼吁：“美国的未来取决于教师。现在我呼吁新一代美国人挺身而出，到教室为国效力。如果你想把你才智和精神发挥到极致，如果你想留下一份永恒的遗产而出人头地的话，那么加入教师队伍吧，美国需要你！”
4.让学生既擅长分析问题、解决问题，又善于发现问题、提出问题
新课标在总目标中要求学生通过义务教育阶段的数学学习，能“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”，这是新课标亮点之一。
一个原发性的有实际意义或有数学意义的问题，解决过程通常包含了发现问题、分析问题、提出假设和检验假设等四个步骤。数学教学应当选择这些富有数学教育教学意义的问题，师生也应当辨识正在解决的问题是不是一个真正的数学问题，是不是一个好的数学问题。真正的数学问题是由一定情境触发的，观察特定情境中某些对象，首先是发现问题并提出问题，然后才是分析问题和解决问题，这样的过程类似于发明与创造。在发明和创造的过程中，发现问题并提出问题是非常重要的一步，“只有善于发现问题和提出问题的人，才能产生创新的冲动”（爱因斯坦），也只有善于发现问题和提出问题的人，才能在基础科学研究方面做出划时代的贡献。
在这一方面，国家主要领导人早有远见卓识在先。2005年9月，温家宝总理就曾语重心长地指出：“要实行启发式教育，把学生作为教学的中心，使学生在学习的整个过程中保持着主动性，主动地提出问题，主动地思考问题，主动去发现，主动去探索”；“让学生自己去发现问题，讨论问题，解决问题，这种做法非常好。发现一个问题比解决一个问题更重要。一个人要成才，就要学会独立思考，学会创造思维。这就是启发式教育”；“给孩子们讲的应该尽量少些。而引导他们去发现的应该尽量多些，这样就慢慢使学生懂得自己去钻研，自己去提高学习知识的本领。”
培养学生发现问题和提出问题的能力对提高公民科学素养有着重要意义，《新西兰数学课程标准》认为：“创造性地解决问题是数学成绩优异的基本特征之一，它对于革新、发明、科学发现起着重要作用，问题提出和问题解决对于学生是同等重要。”因此，新课标将“双能”增为“四能”，试图改变大面积存在的不良教学方式，唤醒学生问题意识，对学生创新意识与创造性思维的培养来说，如同开启了活水的源头。
5.让学生在掌握数学基础知识、基本技能的过程中逐步感悟数学基本思想
新课标在总目标中要求学生通过义务教育阶段的数学学习，能“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”，这是新课标另一亮点。
面对知识的海洋，古人喟叹：“吾生也有涯，而知也无涯，以有涯随无涯，殆矣！”在瞬息万变的网络信息时代，知识的记忆已非首要，如何搜集资料，如何理解知识，将知识转化为能力以解决不同情境中存在的各种问题，才是现实生活和工作中更重要的事。在基础学科学习过程中，知识与能力是相互依存、相互促进的，知识是能力转化的基础与前提，但是，仅仅停留在知识当中的学习仍然是低层次的。在数学知识的教学过程中，师生都要致力于在基础知识的发生与推演过程中概括能广泛应用的数学方法，在数学方法的应用中掌握数学基本技能。进一步地，师生还要致力于从众多的数学方法中感悟数学思想，在应用数学思想过程中，将能力升华化为智慧。
数学认识是在不断抽象、概括的过程中变得更加系统、深刻。最初的抽象与概括产生了数以及点、线、面等原始概念，进一步的抽象、概括与推理，又产生了更多的数学概念，建构起宏大的数学知识理论体系。概括数学化简的过程，可以抽象出配方法、换元法这样的数学变化方法；概括数学思维的特点，可以抽象出归纳、类比、分析、综合这样的数学逻辑方法；概括分析问题解决问题的思路，可以抽象出化归与转化这样的数学策略思想；概括数学理论形成、发展与应用的过程，又可以抽象出新课标给出的三个基本思想，即数学抽象的思想、数学推理的思想和数学模型的思想。
新课标认为，数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等；学生可以在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想；数学教学所选择的素材应当在反映数学本质的前提下尽可能地贴近学生实际，以利于他们经历从现实情境中抽象出数学知识与方法的过程；在呈现作为知识与技能的数学结果时，要在学生已有经验基础上，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程；推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理用于探索思路，发现结论，演绎推理用于证明结论；模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。
通常认为，数学思想是概括了大量数学知识与数学理论后产生的对数学思维方法的本质认识，它随着概括程度的不断深入而变化、发展。数学思想是对在数学中广泛存在的统一性和普遍性的一种认识，是关于数学知识的一种深透且广远的理解，并具有应用的普适性，它是数学的灵魂与精髓，是当学生将曾经接受过的数学知识都忘掉以后能够剩留下来的东西。因此，数学思想的教学应贯穿始终，师生都要力争站在思想的高度居高临下地去理解和掌握数学知识，分析和解决数学问题。 6.积累数学活动基本经验，培养学生应用意识和创新意识
数学思想方法对数学思考有着非常强的直觉意义上的指导作用，可以增进思考效益，但并不是数学问题解决的“万能匙”，例如，转化是数学中非常基本的思维策略，然而在解决具体的数学问题时，由于转化的内涵极为丰富，懂得要转化却不一定懂得如何去转化，这与背熟了三十六计却未必懂得如何带兵打战的道理是一样的。对数学思想方法的认识与感悟，是在数学活动经验不断积累的过程中逐步递进、螺旋上升的。经历的在数学的“做”与数学的“思考”方面的活动经验越多，对基础知识与基本技能的理解就越深刻，对数学思想方法的感悟就越高远，就越善于把数学思想方法应用于更广的领域，并在应用中积累下更多的数学活动经验，如此周而复始。可见，知识、技能、思想和经验是一个相互依赖的整体，是数学认识持续深化过程中不可或缺的四个方面，经验缺失，就会架空知识与技能，让思想成为没有价值的空壳。
所谓数学活动经验，指的是学生在参与各种数学活动中获取的关于如何进行数学探索与思考的心理体验。数学活动经验源于数学知识形成、发展和应用的过程中，新课标认为：数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志，帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，教学中要注重结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，让学生不断积累数学活动经验。同时，新课程还指出：“综合与实践”是积累数学活动经验的重要载体，教师要在学生经历具体的“综合与实践”问题的过程中，引导学生体验如何发现问题，如何选择适合自己完成的问题，如何把实际问题变成数学问题，如何设计解决问题的方案，如何选择合作的伙伴，如何有效地呈现实践的成果，让别人体会自己成果的价值，让学生通过活动逐步积累运用数学解决问题的经验。
数学的应用，是一个在问题情境下运用已有经验处理新信息、新问题的过程；数学的发现与创造，是一个以经验为基础的不断发展与完善的过程，因此，积累数学活动经验，有利于培养学生的应用意识和创新意识，应贯穿于整个数学课程教学之中。能否在数学活动过程中让学生领略教师个人数学思维活动的创造性，从而让学生应用意识和创新意识得到真正培养，与教师的专业素养和创新精神息息相关，正如胡锦涛总书记曾经说过的，“教师从事的是创造性工作。教师富有创新精神，才能培养出创新人才。”
结束语：数学不仅仅只是一门科学知识体系，同时还是一种语言、一种思想方法，是一门别具匠心的艺术，是一种不断发展的文化，“在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞和驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵”（克莱茵）。因此，数学教育教学深富独特内涵与非凡价值，新课标在内容、精神和理念上都更好地把握了这些内容，其倡导的课程内容更简约地呈现了数学教育教学的本质内涵，培养目标更全面地体现了数学教育教学的特有价值。我们希望，新课标在不远的将来能触发教育机制的相应改革，为数学基础教育逐步走向完善引出一条金光大道，这是许多数学教育教学工作者长期怀存的期待。