高职考试题型求解策略 高职英语考试题型

　　三角函数的最值问题是日常教学中的重难点问题，也是高职考试中常考的题型之一，通过日常教学中的一些反思，下面分类总结如下，供参考。[WTBX]　　一、可化为y=asin2x+bsinx+c类型
　　此类型是三角结合二次函数的复合函数的最值问题，配方后转化为求二次函数的最值，必须注意sinx≤1的约束。
　　例 1 求函数y=7－4sinxcosx+4cos2x－4cos4x，x∈［0,π4］的最大值和最小值。
　　分析：联想倍角公式，化成关于sin2x的二次函数，用配方法求解。
　　解：y=7－2sin2x+4cos2x(1－cos2x)
　　=7－2sin2x+sin22x=(sin2x－1)2+6。
　　令u=sin2x，即由y=(u－1)2+6。
　　∵2x∈［0,π2］,∴u∈［0,1］，
　　故ymax=7,ymin=6。
　　二、形如y=csinx+dasinx+b类型
　　此类型可以利用分离分母的方法求解，也可分离sinx利用正弦的有界性求解。
　　例2 求函数y=3－sinx3+sinx的最大值和最小值。
　　解： y=3－sinx3+sinx=63+sinx－1，由于－1≤sinx≤1,得2≤3+sinx≤4,14≤13+sinx≤12,
　　∴12≤63+sinx－1≤2，
　　所以ymax=2,ymin=12。
　　三、形如y=sinx+asinx类型
　　此类型联想均值不等式或函数的单调性求解,如用均值不等式求解，则必须满足一正、二定、三相等。
　　例3 求y=sinx+3sinx(00,本题常常想到用均值不等式去求解，但用均值不等式等号不成立，所以本题应结合函数的单调性求解。
　　解：设t=sinx,则f(t)=t+3t(0　　四、形如y=asinx+bcosx+c类型
　　此类型可引入辅助角转化成y=Asin(ωx+φ)+B利用整体思维来解决。
　　例4 已知函数f(x)=cos(π3+x)cos(π3－x)－sinxcosx+14，求f(x)在［0,π4］的最值。
　　解：f(x)=(12cosx－32sinx)(12cosx+32sinx)－12sin2x+14
　　=14cos2x－34sin2x
　　－12sin2x+14
　　=1+cos2x8－3－3cos2x8－12sin2x+14
　　=12cos2x－12sin2x
　　=22cos(2x+π4)，∵x∈［0,π4］,∴2x+π4∈［π4,3π4］,－22≤cos(2x+π4)≤22，
　　故f(x)max=1,f(x)min=－1。
　　五、形如y=asinx+bbcosx+d类型
　　此类型可利用正（余）函数的有界性转化为以函数y为主元的不等式,然后解绝对值不等式得出最值，也可以联想圆的参数方程和直线斜率的几何意义去求解。
　　例5 求f(x)=sinx－1cosx－2的最值。
　　解：由已知得ycosx－2y=sinx－1,即sinx－ycosx=1－2yy2+1 ，sin(x+φ)=1-2y,
　　∴sin(x+φ)=1－2yy2+1。因为sin(x+φ)≤1,
　　1－2yy2+1≤1,即3y2－4y≤0，解之，得0≤y≤43。∴ymax=43,ymin=0。
　　六、利用sinα与cosα之间的关系
　　此类型利用sinα+cosα,sinα－cosα,sinαcosα间不可分割的联系，所以可用换元法求解，但必须注意换元后参数的取值范围。
　　例6 已知函数y=2sinxcosx+sinx－cosx,x∈［0,π］，求y的最大值和最小值。
　　分析：利用sin2x+cos2x=1，可得2sinxcosx=1±(sinx－cosx)2，利用换元法求解。
　　解：令t=sinx－cosx，则2sinxcosx=1－t2，∴y=1－t2+t=－(t－12)2+54。
　　因为t=sinx－cosx=2sin(x－π4),
　　又x∈［0,π］，
　　∴t∈［－1,2］，y=－(t－12)2+54，
　　故当t=12时，ymax=54,t=－1时，ymin=－1。
　　（作者单位：山东省即墨市第二职业中等专业学校）

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