摘 要： 2011年四川高考数学试题涉及的知识面广、试题的起点低、坡度平缓、整体的难度适中、逐题分层把关、具有良好的区分度。试卷返璞归真回归教材，对基础知识重点考查的同时，也注重突出对数学思想方法及数学能力的考查，体现了“多思少算”重视对考生学习潜能的考查，是一套高水平的高考数学试题，有较高的信度和效度。
关键词： 2011年四川高考数学题 文科19题 理科19题 试题分析
一、真题再现
文科19题：如图，在直三棱柱ABC―ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=AA=1，延长至AC点P，使CP=AC，连接AP交棱CC于D.
（Ⅰ）求证：PB∥平面BDA；
（Ⅱ）求二面角A―AD―B的平面角的余弦值.
理科19题.如图，在直三棱柱ABC―ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=AA=1，D是棱CC上的一点，P是AD的延长线与AC的延长线的交点，且PB∥平面BDA.
（I）求证：CD=CD；
（II）求二面角A―AD―B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求点C到平面BDP的距离.
二、试题分析及评价
1.考查内容：主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，空间想象能力和逻辑推理能力，以及应用向量知识解决问题的能力.
2.平均分：文科平均分5.733，其中满分卷30.74%，0分卷30.92%；
理科平均分6.909，其中满分卷19.31%，0分卷14.34%.
3.命题背景：以直三棱柱为载体，考查空间线面位置关系、空间角与空间距离的计算、体积的计算等热点内容，以及思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力.
4.试题评价：（1）此题背景熟悉，试题源于教材.知识点覆盖面广，重点考查了线面关系及三垂线定理、角与距离的公式等内容.试题起点低、易入手，由于已知条件中能够找到三条两两互相垂直的直线，传统法和向量法两种方法均适宜解答，此题方法较多，难度适中，有良好区分度.
（2）文理科19题的第一问为姊妹题.文科：已知D为CC中点，求证直线PB∥平面BAD；理科：已知直线PB∥平面BAD，求证D为CC的中点.明显从题设和结论来分析两个命题互为逆命题.如此命题符合文理科学生对立体几何的认知水平，而题设与结论的互换又明显增加了理科试题的区分度.
（3）2011年理科立体几何试题的后两问是：（II）求二面角A―AD―B的平面角的余弦值；（Ⅲ）求点C到平面BDP的距离.2010年理科立体几何试题的后两问是：（Ⅱ）求二面角M―BC′―B′的大小；（Ⅲ）求三棱锥M―OBC的体积.本质上2011年的理科立体几何试题只是2010年试题的变式，且难度相当.
（4）文理科19题第二问完全相同，求二面角A―AD―B的大小.该题应用向量法，方法单一且计算量小，学生的得分率比较高.
（5）第三问（求点C到面BDP的距离）仅局限理科（因文科只有两问）.传统方法通常采用等积法或作出距离：等积法由于可以把C点到平面BDP的距离转化为C到平面的距离BDP。这样可以选择如下6个不同的锥体.
V=V?摇?摇?摇 ?摇?摇 V=V
V=V?摇?摇?摇?摇?摇 V=V=V
V=V?摇?摇?摇?摇?摇 V=V
经过不同的方法求解出求点C到面BDP的距离，虽然选择6个不同的锥体，但求解的方法与步骤一样.过点C作到平面BDP的垂线，计算量虽小，但一般考生难以想到，主要难点在于利用三垂线法作与平面垂直的平面，但极少数高手采用了这种方法.
1.基础知识不扎实.
（1）由于基础知识掌握不牢，对立体几何中的公理、定理、概念不熟悉，不能顺利完成第一小问的证明；
（2）约有一半的考生采用了向量法.多数考生理解和掌握了把直线与平面平行转化为直线对应向量与平面的法向量互相垂直的基本方法，突出的问题是D点和P点两个相关点之间的关系没有理清楚，反映了考生在初中对所学平面几何中的平行线分线段成比例（或者三角形相似）等知识掌握不牢，对三点共线的认识模糊；
（3）不能看出是平面的法向量，重新求该平面的法向量浪费时间或致误；
（4）不能正确求平面的法向量.
2.证明思维混乱.
以理科（1）问为例，传统方法最主要的思路是把线面平行转化为线线平行或面面平行.在阅卷时，极少发现用第二种方法求解的，而且部分考生推导过程思路混乱、因果关系混淆.从中折射出立体几何在引入向量法后，虽然能把几何问题代数法有一定优点，但某种程度上扼制了考生空间想象能力、逻辑推理能力的发展.
3.计算能力较差.
第二问文理科完全相同，求二面角的大小.
传统方法是利用BA⊥平面ACCA，根据三垂线定理构造二面角的平面角或使用射影面积公式法.阅卷反映出考生解题方法与方向正确，但因计算能力较差，导致丢分.第三问大多数理科考生和解第二问一样选择了向量法求解，直接套用公式虽计算量小，主要失分原因仍然是计算能力不过关.
4.解题习惯不太好.
（1）书写习惯不好.书写不规范.如直线AD在平面内记作AD∈平面，点与向量坐标的坐标混淆，有些考生解题过程显得太简单，特别是第三问用体积法求点C到面BDP的距离；
（2）没有检验的习惯，缺少检验关键步骤而导致失分.
（3）审题出错，如求二面角A―AD―B的平面角的余弦值，有些考生误认为求二面角A―AD―B的平面角，故失分.
（4）建立右手坐标系改左手系.建立左手坐标系，与习惯相违而导致计算性错误，建立右手坐标系改左手系降低空间想象力且计算量大.
5.数学思维能力不强.
文理科第二问解法多样，传统方法一般优于向量法，综合法、面积射影法计算量过大，因选择方法不当，陷入复杂的方法，导致增大计算量而失分，第二小问显然用公理化法比用向量法简单，射影面积法计算量最大.
四、教学启示
1.适当匹配传统法与向量法在立体几何教学中的比例，可在一定程度上加强传统方法的训练，在平时训练中注意立体几何思想方法选择，注意综合法与向量法整合，以增强学生的空间想象能力和逻辑推理能力.
2.加强计算能力的培养.虽然通常讲“多想点少算点”，但计算能力是数学知识运用最基本的能力，特别注意运算的合理性与运算关键步骤的选择等，在高考中因计算错误导致的失误占了较大的比例，如虽然理科试题难度并不大，但满分的比例不到20%，其中因计算错误引发的失分非常严重.
3.夯实三基，注意立体几何知识的形成生发过程和知识结构，提高能力.如空间向量能有效解决立体几何问题，不只是局限于了解法向量的求解和角与距离的公式，而让学生真正把握向量运用的基本原理，才能灵活运用不同方法解决遇到的各类问题.
4.复习时不要一步到位，应螺旋式上升.
五、优秀解法欣赏
下面我们看一下某考生对2011年高考试卷理科（1）问的解法：
以A为原点，AB，AC，AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系A-BCA，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），B（1，0，1），设D点坐标为（0，1，x），则P点的坐标为（0，，0）.
∵BP∥面BPD，∴=λ+μ.
又=（-1，，0）=（1，0，1）=（0，1，X），则有-1=λ=μ0=λ+μx，解得x=，∴CD=CD.
该考生解答过程简洁利落，可以看出他对向量知识掌握极其灵活，具备巧妙运用所学知识解决问题的能力.
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