(2009年江西)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2.以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.
(1)求证:平面ABM⊥平面PCD;
(2)求直线PC与平面ABM所成的角;
(3)求点O到平面ABM的距离.
解:方法一:(1)依题设,M在以BD为直径的球面上,则BM⊥PD.
因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,又AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD,因此有PD⊥平面ABM,所以平面ABM⊥平面PCD.
(2)设平面ABM与PC交于点N,因为AB∥CD,所以AB∥平面PCD,则AB∥MN∥CD.
由(1)知,PD⊥平面ABM,则MN是PN在平面ABM上的射影,所以∠PNM就是PC与平面ABM所成的角,且∠PNM=∠PCD,tan∠PNM=tan∠PCD=■=2■所求角为arctan2■.
(3)因为O是BD的中点,则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半,由(1)知,PD⊥平面ABM于M,则|DM|就是D点到平面ABM距离.
因为在Rt△PAD中,PA=AD=4,PD⊥AM,所以M为PD中点,DM=2■,则O点到平面ABM的距离等于■.
方法二:
(1)同方法一;
(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,4),B(2,0,0,),C(2,4,0),D(0,4,0),M(0,2,2).
设平面ABM的一个法向量■=(x,y,z),由■⊥■■⊥■可得:2x=02y+2z=0,令z=-1,则y=1,即■=(0,1,-1).设所求角为α,则sinα=■=■,所求角的大小为arcsin■.
(3)设所求距离为h,由O(1,2,0),
■=(1,2,0),得:h=■=■.
方法一利用传统的解法,采用“作图、证明、解三角形”的老“三步曲”方法解题,在第(2)问中寻找直线PC与平面ABM所成的角时技巧性强,能力要求高,方法二通过引入空间向量后,把几何问题代数化,巧妙地使线面角问题为线线角问题,从而降低了此题的解题难度。2008年的江西高考文、理第20题也有类似之处。
(2008年江西文、理20)如图,正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直,且长度均为2.E、F分别是AB、AC的中点,H是EF的中点,过EF的平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1,已知OA1=■.
(1)求证:B1C1⊥面OAH;(2)求二面角 O=A1B1-C1的大小.
解:方法一:(1)依题设,EF是△ABC的中位线,所以EF∥BC,则EF∥平面OBC,所以EF∥B1C1.
又H是EF的中点,所以AH⊥EF,则 AH⊥B1C1.
因为OA⊥OB,OA⊥OC,所以OA⊥面OBC,则OA⊥B1C1,因此B1C1⊥面OAH.
(2)作ON⊥A1B1于N,连C1N.因为OC1⊥平面OA1B1,根据三垂线定理知,C1N⊥A1B1,∠ONC1就是二面角O-A1B1-C1的平面角.作EM⊥OB1于M,则EM∥OA,则M是OB的中点,则EM=OM=1.
设OB1=x,由■=■,得■=■,解得x=3,在Rt△OA1B1中,A1B1=■=■■,则ON=■=■.所以tan∠ONC1=■=■,故二面角O-A1B1-C1为arctan■.
方法二:以直线OA、OC、OB分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,O-xyz则A(2,0,0),B(0,0,2),C(0,2,0,)E(1,0,1)F(1,1,0),H(1,■,■)
所以■=(-1,■,■),■=(1,■,■),■=(0,2,-2)
■・■=0,■・■=0
BC⊥平面OAH
由EF∥BC得B1C1∥BC,故:B1C1⊥平面OAH
(2)由已知A1(■,0,0),设B1(0,0,z)则■=(-■,0,1),■=(-1,0,z-1)
由■与■共线得:存在λ∈R有■=λ■得-■=-λ1=λ(z-1)■z=3,∴B1(0,0,3)
同理:C1(0,3,0)
∴■=(-■,0,3),■=(-■,3,0)
设■=(x1,y1,z1)是平面A1B1C1的一个法向量,则-■x+3z=0-■x+3y=0令x=2得y=x=1
∴■(2,1,1)又■=(0,1,0)是平面OA1B1的一个法量.
∴cos(■,■)=■=■
所以二面角的大小为arccos■
同样的我们可以发现方法一中寻求二面角O-A1B1-C1的平面角是一大难点,需要作辅助线,并且计算OB1的长度对空间立体感要求很高。而方法二引入两平面的法向量,使求二面角问题转化为求两法向量夹角问题,大大简化了计算程序,给人耳目一新的感觉。
立体几何是历年高考中必考的重点、难点问题之一。空间向量的应用将有利于培养学生的空间想象能力,启发学生的数学思维,提高学生的学习兴趣,让学生轻松、快活地学习。
作者单位:江西省新余市第一中学
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文