在学习了复数的几何意义后,我们知道复数在复平面中与点、向量构成了一一对应关系,这样很多复数的问题就可以转化成平面向量的问题,而复数的模就对应向量的模,即有向线段的长度。本文就以下几个复数的模|z|、|z|、|z+z|、|z-z|之间的关系作初步探究。
我们先来学习一个在平面几何中的结论。
【结论】如图,在平行四边形ABCD中,有AC+BD=2(AB+BC)。
【文字表述】平行四边形的两条对角线长的平方和等于它四条边的平方和。
【简证】
在△ABC中,由余弦定理可得:AC=AB+BC-2AB・BC・cosB(1)
在△ABD中,由余弦定理可得:BC=AB+AD-2AB・AD・cosA(2)
又A+B=π,所以cosA+cosB=0。
则(1)+(2)得AC+BD=2(AB+BC)。
【运用】
现在作出复数z、z在复平面中对应的向量OZ、OZ,如下图所示,那么由平面向量加减运算的平行四边形法则和三角形法则可知,在以OZ、OZ为邻边的平行四边形OZZZ中,表示复数z+z,ZZ表示复数z-z,此时这四个复数的模即为该平行四边形的两条边和两条对角线长。那么由上面的结论可得。
|z+z|+|z-z|=2(|z|+|z|)(*)
今后在解选择填空题时我们可直接运用该公式实现快速解答,如:
例1.已知z,z∈C,|z+z|=2,|z|=,|z|=,则|z-z|=()。
A.1B.C.2D.
解析:代入公式(*)易得,|z-z|=。
【引申】
在平行四边形OZZZ中,若|z|=|z|,即邻边相等的平行四边形,故四边形OZZZ为菱形;
若|z+z|=|z-z|,即对角线相等的平行四边形,故四边形OZZZ为矩形;
若|z|=|z|且|z+z|=|z-z|,故四边形OZZZ为正方形。
例2.A,B分别是复数z,z在复平面上对应的两点,O为原点,若|z+z|=|z-z|,则△AOB为 。
解析:由上述结论可知,OA⊥OB,即△AOB为直角三角形。
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