不等式作为高中数学课程的重要内容之一,其求解、证明已成为高考及数学相关竞赛命题的一个基本方向。同时,新课程改革又注重对学生能力培养及检测。因此,各类不等式考试命题中相应涉及一些重要不等式的应用,如Cauchy不等式、Jensen不等式,等等。下面笔者就Jensen不等式的应用作以下探讨。
一、重要不等式及相关概念
1.凸(凹)函数的定义。
设函数f(x)定义在某一区间上,对于这一区间上的任意x,x(x≠x),如果恒有f()>,则称函数f(x)在这个区间上是凸函数,如果上式不等号反向恒成立,则称函数f(x)在这个区间上是凹函数。
2.重要不等式(Jensen不等式)。
如果函数y=f(x)在某区间上是凸函数,则对于该区间上任意x(i=1,2…,n)都有f()≥,如果函数y=f(x)在某区间上是凹函数,不等号反向成立。其中等号成立时,当且仅当x=x=…=x。
二、Jensen不等式的应用
由不等式易知,运用Jensen不等式关键在于构造一个适当的凸(凹)函数。
1.直接构造凸(凹)函数,应用Jensen不等式。
例1.设a,b,c均是正数,且a+b+c=1,求证:++≤。
证明:设函数f(x)=,
对于任意的x,x∈(0,+∞),当x≠x时,有:
f()=>=,
所以函数f(x)=在区间(0,+∞)上是凸函数。
由Jensen不等式可得:
≤=,即++≤。
例2.(此例为例1的推广形式)设a(i=1,2,…,n)均是正数,且a=A,求证:++…+≤。
证明:因为函数在区间上是凸函数。由Jensen不等式可得:≤=,
即++…+≤。
2.变形构造凸(凹)函数,应用Jensen不等式。
例3.设a,b,c,d均是正数,求证:≥+
证明:原不等式等价于≥1+,
两边同时取对数得:
lg(1+)+lg(1+)≥lg(1+)。
令10=,10= ,
则:lg(1+10)+lg(1+10)≥lg(1+10)。
此时,只需证明f(x)=lg(1+10)在定义域上是凸函数即可。
事实上,10+10≥2×10,
所以(lg(1+10)+lg(1+10))≥lg(1+10)
=lg(1+10+10+10)≥lg(1+10+10)=lg(1+10)。
至此f(x)=lg(1+10)在定义域上是凸函数得证,所以原不等式成立。
例4.(此例为例3的推广形式)设a,b(i=1,2,…,n)均是正数,求证:((a+b)≥(a)+(b)
证明:由于f(x)=lg(1+10)在定义域上是凸函数,
所以lg(1+10)≥lg(1+10)
因为a,b(i=1,2,…,n)均是正数,
令=10,
则有:lg(1+)≥lg(1+()),
即((1+))≥1+(),
两边同乘以(a)得:((a+b))≥(a)+(b)。
点评:本文主要以凸函数的构造为例,通过四个例子、两种构造类型介绍了Jensen不等式的应用。同时,每一种构造类型中两个例子的选取上,采取从特殊到一般的推广模式。 其中例1、例3的证明能够帮助学生理解例2、例4的证明。此外,这种模式又能促使学生积极、主动思索,从而发现、解决问题,激发学生求知欲,并能使学生迅速掌握该不等式及其应用。
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