以理求清 以通达融 以思得慧 —以《多边形面积》为例浅析大观念下单元整体教学
摘要：在课程与教学领域的微观层面，“大观念”指的是对个别的事实和技能赋予意义和连结之概念、主题和问题。它能够“透镜”焦点观念，透视任何要学习的内容；能作为理解的关键点，通过联结及组织许多技能、经验，来提供教学的广度。
笔者认为，大观念作为我区小学数学开展教学研究的重点与主线，指向核心素养的单元教学研究，摒弃了基于知识点的教学方式， 更倡导了大观念、大主题、大过程统领下的教学内容重组及教学结构优化，这既是学科核心素养落地的自然需求，也是课堂教学的应然追求。数学教科书每一册都由若干个单元组成，其中每一个单元的教学内容都可以归类于数与代数、空间与图形或者统计与概率之中。这就使得每一单元的教学都有其自身特点，只要把握了单元教学特点和教学规律，课堂教学就会产生事半功倍的效果。下面结合人教版五年级上册“多边的面积”为依托，谈谈有关图形面积计算单元整体教学的实践和体会。
关键词：大观念 单元教学 教学规律 学科素养
一、以理求清，发现单元核心元素，建构知识关系结构
《多边形的面积》是人教版小学五年级上册第六单元的内容。这一单元教材内容是讲平面几何中几种基本几何图形的面积的计算，包括平行四边形的面积、三角形的面积、梯形的面积，以及与之相关的简单的组合图形的面积的计算。由于这几种图形在日常生活中应用比
较广泛，因此很容易找到它们的原型，教学时可以利用这一点创设情境，生成数学问题，指导学生明确自己探究的目的性。
（一）设计主题图，整体感知学习内容。
根据教材编排特点，在单元教学的开篇位置，我与学生一同梳理整体脉络，并以此引出一系列问题供学生探究，让学生在探究中认知数学，并获得活动经验。因此，让学生整体感知单元中所蕴涵的数学问题尤为重要。以“多边形的面积”为例，在建构脉络关系时，既要包含学生已会的图形的面积，也要包含学生未知的图形的面积。在梳理中，学生可以清楚明确本单元研究重点是什么，认知基础有哪些， 后期还将继续研究哪个方面。
（二）设计问题串，明确单元学习目标
经过教学发现，教材中提供的主题图为学生提供了一个可以观察的平台，辅之以恰当的问题，可以让学生进一步明白设计意图和学习目标，获得较好的教学效果。“多边形的面积”这一单元可以这样设计问题让学生明确学习目标：
问题串的设计不仅可以让学生整体感知学习内容，而且可以增强学生探究的积极性。
二、以通达融，分析知识内在联系，通晓新旧知迁移障碍
数学学习活动是一个以学生已有的知识和经验为基础的主动建构过程，学生原有知识状况、学习水平直接影响新知的学习、知识技能的迁移。原有认知结构对于新的学习始终是一个最关键的因素，一切新知识的学习都是在以前学习的基础上产生的。因此，分析学生的知识储备，了解他们对原有知识的数量、清晰度和组织结构，才能开始新的教学。显然，将所学知识彼此间建立关联、形成结构、融会贯通，应是单元教学的要旨所在。
这样看来，本单元的学习内容，有必要打通哪些联系呢?
（一）“内通”结构成框架。
梳理各多边形面积计算的方法和推导过程，形成网络关系图。这是对一单元学习内容的疏通与架构，是帮助学生形成认知结构的必做之事，这是“通”的环节之一。
（二）“纵通”节点拓思维。
放眼整个关于平面图形面积计算的研究，面积计算公式的推导方法和路径其实是多元的。我们知道平行四边形、三角形和梯形的面积计算，是在学生掌握了这些图形的特征及长方形、正方形的面积计算的基础上教学的。分析这些几何图形的面积计算公式的推导过程，弄清这些数学知识的内在联系。可以让我们找到学生的学习障碍到底在哪里，从而提高教学的针对性和实效性。我们可以用下列关联图表示：
从以上图示不难看出，这几种基本图形彼此关联，并且可以相互
转化。学生要想掌握正确的计算方法必须思考以下问题：
思考一：由于平行四边形、三角形、梯形和长方形、正方形一样， 都是直线形平面图形。学生可以很容易用直尺直接度量它们的边长， 那么各边的长度与面积之间是不是存在必然联系？找到这种联系对 学生思维就是一种挑战。
思考二：学生在学习长方形、正方形的面积时知道可以用单位面积度量的方法求得图形的面积，那么平行四边形、三角形、梯形可以采用这种方法吗？这种度量方法有没有弊病？
思考三:如果不用单位面积度量的方法，学生能否想到转化的方法？怎样转化？能否找到转化前后图形的内在联系？
在本单元教学中，我尝试与学生一起解决以上三个问题，学生突破以上三个学习障碍，单元教学收到较好效果。
（三）“横通”联系促深化。
本单元新学习的三个面积公式，除了在纵向推导过程上的千丝万缕的联系外，在横向比较时会发现，它们的计算公式在形式上也有相通之处，而这种相通之处如果能够被学生所感受和理解，那么对于多边形面积的理解就不仅仅是记住了公式，而且能深刻地把握其内涵。在复习课中教师尝试引导学生换一个角度整理，从梯形的变形入手， 通过直观图形的比较和抽象公式的沟连，横向打通了梯形和三角形公式、平行四边形及长方形之间的联系。出示教学片段：
师: 其实，我们换个角度看，这些公式之间还有另外一些联系， 咱们来理一理。( 出示梯形) 这是个梯形，它的面积怎么算?
生: S = ( a + b) h ÷ 2。
师: 把这个梯形变一变( 课件展示上底不断缩短的过程) ，变到现在还是梯形，都可以用这个公式，再变，会变成什么样?
生: 三角形。
师: 如果还用这个公式计算面积，你有什么看法? 生: 要把公式中上底变成 0。
师: 不错，用 0 代替一个底，再整理一下，看看变成了什么? ( 出示公式 S = ( a + 0) h ÷ 2 = ah ÷ 2)
生: 三角形的面积公式。
师: 再变一变( 课件展示上底不断变长的过程) ，变到现在还是
梯形，再变，会变成什么样? 生: 平行四边形。
师: 如果还用这个公式，你有什么建议? 生: 上底和下底都用一个字母。
师: 好，把上底下底都写成 a，再整理一下变成了哪种公式? ( 出示公式 S = ( a + a) h ÷ 2 = 2ah ÷ 2 = ah)
生: 平行四边形的面积公式。
师: 当然还可以再变，(课件展示上底向两边同时变长的过程) ， 会变成什么样?
生: 长方形。
师: 还能用这个公式吗?
生: 上底下底变得相同，高用 b 表示。
师: 好，再整理一下 ，变成了哪种公式?
( 出示公式 S = ( a + a) b ÷ 2 = 2ab ÷ 2 = ab) 生: 长方形的面积公式。
师: 我们发现，梯形的面积公式可以作为这几个图形通用的面积公式( 板书: S = ( a + b) h ÷ 2) 。当梯形的一个底变成 0 时， 梯形公式就变成了三角形公式( 板书: b = 0 时， S = ah ÷ 2) ; 当上底与下底一样长时，梯形公式就变成了平行四边形公式( 板书: b = a 时，
S = ah) ; 进一步还可以变成长方形的面积公式( 板书 S = ab)
以上几“通”—“内通”结构成框架、“纵通”节点拓思维、“横通”联系促深化。只有把握这三个方向的“通”，我们才有可能帮助
学生到达“融”的境界，让学生在知识的学习中丰富认识并拥有生长的气息。
三、以思得慧，探究问题解决方案，迁移数学思想方法
针对以上问题，我尝试采取科学合理的解决问题的策略和办法才收到较好的效果，动手实践、自主探索、合作交流是突破以上障碍的最佳途径，学生只有经历“猜想—实验—验证”的过程，才能很好地实现单元学习目标。
（一）归纳单元方法 ，逐步形成方法结构
单元方法的结构化，需要教师引导学生站在更高的视角审视学习过程，在不断反思学习过程中逐步归纳总结。
从教材编写意图看，在平行四边形的面积计算的教学中，教材里安排先借助数方格的方法得到其面积，再引导学生通过割补法将平行四边形转化为已学过的长方形，推导出面积计算公式。三角形的面积计算，就直接要求学生将三角形转化为已学过的图形来推导面积计算公式，到梯形的面积计算。要求学生综合运用学过的方法自己推导出面积计算公式。三种图形的面积推导，虽然都采用了把新知转化成旧知的思路，但是学生体验的探究过程和探究经验是不同的，所经历的数学思维活动和学习收获也是不同的。虽然都是要求学生动手操作， 但操作要求和思维水平在逐步提高。
综合本单元学生的探究经历，学生应该从中获得以下数学思想和方法。
从上表可见，本单元内容的教学，都是以变换为主要途径，以未知向已知转化为基本方法进行,其中，每一种图形的面积计算公式的推导,都有多种途径和方法，只要抓住了图形变形过程中所蕴涵的数学思想一转化,学生就会自觉不自觉的应用这种数学思想去不断的同化新知识。
（二）单元方法迁移，逐步完善方法结构
学生单元方法结构一旦形成，就会具有很强的迁移能力和灵活的应用能力，可以迁移到其他类似单元、类似问题学习中去。例如，学生一旦形成关于图形的割补方法，以后遇到类似的问题，如圆的面积计算公式推导；甚至圆柱体体积计算公式推导，自然就会想到用割补的方法,从而很容易把新知纳入原有认知结构中去，形成新的认知结构。
方法不仅可以迁移到类似单元中类似问题的学习内容中去，还可以迁移到其他领域不同单元不同类型问题的学习中去。例如，割补的方法不仅可以用于同领域“图形与几何”同类型问题上，还可以迁移到不同领域“数与代数”不同类型的问题上。如，简便计算 999+99+9+3 时就可以把 3 割成 3 个 1,补到 999、99 和 9 上，分别合成 1000、100 和 10,这样就很容易算出结果是 1110，这个简便计算的过程和图形的割补方法有异曲同工之妙。这样的方法迁移，可以有效打通知识之间
的内在联系，不断完善学生的方法结构，拓展学科思考的空间，提升学科思考的品质，促进学科素养的生成。
（三）单元方法统整，逐步形成策略结构
单元方法结构是具体多样的，经过统整可以逐步形成更加系统的策略结构，就会具有更强的包摄性和转化力。例如，三角形和梯形面积公式推导既可以用割补的方法，还可以用借来还去的方法（图 1、图 2）。
（ 图 1）
（ 图 2）
图 1 可以看作借来一个与原来三角形完全相同的三角形，拼成一个平行四边形，通过建构三角形的底和对应的高与平行四边形对应的底和高的元素关联，推导出三角形面积计算公式。同样，图 2 可以看作是借来一个与原来梯形完全相同的梯形，拼成一个平行四边形，通过建构梯形的上下底之和、对应的高与平行四边形对应的底和高的元素关联，推导出梯形面积计算公式。割补和借来还去，尽管方法不同， 但上升到解决问题的策略层面则是相同的，即转化的策略，都是把一个有待解决的问题转变成已经解决或者比较容易解决的问题，从而解决原来问题。因此，不断统整方法结构，就会逐步形成策略结构，不断完善学生学科能力结构的建构，促进学生学科素养的不断生长。
数学是思维的体操，更是一门严谨的、逻辑性强的学科，而单元教学上的建构也显得尤为重要。在重难点的突破上运用之前知识关联
和之后新知的串联，更加无形中帮助学生建立大脑中的“思维导图”， 真正实现思维在课堂中的真正涌动和成长。大观念的提出不仅仅是一种理念的支撑，更是一种经验的积累，一种睿智的彰显。通过大观念的引领，笔者发现其实课堂中教学资源可以取之于学生，又用之于学生，课堂中适时捕捉学生“动态因素”、顺水推舟，自主建构生成课堂。为学生留足探索的天地、想象的空间，才能真正做到深刻的进入数学学科内部！
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