高二各知识点数学题5篇

高二各知识点数学题一、选择题1.已知锐角△ABC中，AB=4，AC=1，△ABC的面积为3，则ABAC的值为（）A.2B.—2C.4D.—4解析：ABAC=下面是小编为大家整理的高二各知识点数学题5篇,供大家参考。

高二各知识点数学题5篇

高二各知识点数学题篇1

一、选择题

1.已知锐角△ABC中，AB=4，AC=1，△ABC的面积为3，则ABAC的值为（）

A.2 B.—2

C.4 D.—4

解析：ABAC=|AB||AC|cosA=ABACcosA=4cosA.由S△=12ABACsinA=3得sinA=32，∵△ABC是锐角三角形，cosA=12，ABAC=2，故选A.

答案：A

2.在△ABC中，若A=60，b=16，此三角形的面积S=2203，则a的值为（）

A.206 B.25

C.55 D.49

解析：由题可得S=12bcsinA=2203，c=55，a2=b2+c2—2bccosA=2401，a=49.

答案：D

3.三角形两边之差为2，夹角的余弦值为35，面积为14，那么这个三角形的此两边长分别是（）

A.3和5 B.4和6

C.6和8 D.5和7

解析：∵cosA=35，sinA=45，S=12bcsinA=14，bc=35，又b—c=2，b=7，c=5.

答案：D

4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=1，B=45，S△ABC=2，则△ABC的外接圆直径是（）

A.43 B.5

C.52 D.62

解析：因为S△ABC=12acsinB，即2=121c22，所以c=42，b2=a2+c2—2accosB=1+32—214222=25.所以b=5，所以2R=bsinB=522=52，选C.

答案：C

5.在△ABC中，若a=2，b=22，c=6+2，则A的度数是（）

A.30 B.45

C.60 D.75

解析：cosA=b2+c2—a22bc=32，所以A=30，选A.

答案：A

6.在△ABC中，A？B=1？2，ACB的平分线CD把三角形面积分成3？2两部分，则cosA等于（）

A.13 B.12

C.34 D.0

解析：因为CD是ACB的平分线，所以

S△ACDS△BCD=12ACCDsinACB212BCCDsinACB2=ACBC=sinBsinA=32.

因为B=2A，所以sinBsinA=sin2AsinA=2cosA=32，

所以cosA=34，选C.

答案：C

7.在△ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则AC边上的高为（）

A.322 B.332

C.32 D.33

解析：由余弦定理，得cosA=9+16—13234=1224=12，sinA=32.AC边上的高=ABsinA=323.故选B.

答案：B

8.在△ABC中，A与B恰满足sin3A2=sin3B2，则三边a、b、c必须满足（）

A.a=b

B.a=b=c

C.a+b=2c

D.（a—b）（a2+b2—ab—c2）=0

解析：由sin3A2=sin3B2得：3A2=3B2或3A2+3B2=，

即A=B或A+B=23，A=B或C=3，

a=b或cosC=12=a2+b2—c22ab，

即a=b或a2+b2—ab—c2=0，选D.

答案：D

9.若△ABC的周长等于20，面积是103，A=60，则BC边的长是（）

A.5 B.6

C.7 D.8

解析：依题意及面积公式S=12bcsinA得103=12bcsin60，得bc=40.又周长为20，故a+b+c=20，b+c=20—a，由余弦定理得：a2=b2+c2—2bccosA=b2+c2—2bccos60=b2+c2—bc=（b+c）2—3bc，故a2=（20—a）2—120，解得a=7，故选C.

答案：C

10.用长度分别为2，3，4，5，6的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）

A.85 B.610

C.355 D.20

解析：设三角形三边长为a，b，c，则

p=a+b+c2=2+3+4+5+62=10.

S=1010—a10—b10—c

10[10—a+10—b+10—c3]3.

当且仅当10—a=10—b=10—c，即a=b=c时取等号，又a+b+c=20，a=b=c=203，这与a，b，cN+不符。

上式取不到等号，又为了使a，b，c接近相等，可知当三边长分别为2+5，3+4，6，即7，7，6时，Smax=10334=610，选B.

答案：B

二、填空题

11.△ABC中sinA=13，cosB=33，a=3，则b=________.

解析：由题意知：B为锐角，sinB=63，由正弦定理知：b=asinBsinA=36313=36.

答案：36

12.已知△ABC中，ABAC0，S△ABC=154，|AB|=3，|AC|=5，则BAC=________.

解析：由ABAC0，得A是钝角，由S△ABC=154，|AB|=3，|AC|=5，得1235sinA=154sinA=12，得BAC=150.

答案：150

13.直角三角形的周长为6+23，斜边上的中线长为2，则三角形的面积等于________.

解析：因为直角三角形斜边上的中线长为2，所以斜边长为4.如图，

AB=4，AC+BC=2+23.令CBA=，为锐角，则BC=4cos，AC=4sin.所以4cos+4sin=2+23，所以sin（4）=6+24，所以4=512，所以6，所以BC=ABcos=23，所以S△ABC=12ABBCsin=1242312=23.

答案：23

14.在△ABC中，已知|AB|=|AC|=2，且ABAC=3，则BC边长为________.

解析：由ABAC=3|AB||AC|cosA=3cosA=34，由余弦定理可求得BC=2.

答案：2

三、解答题

15.在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=3，BD是AC边上的中线。求BD的长。

解析：由余弦定理，得cosA=32+42—32234=5312，

在△ABD中，

BD2=AB2+AD2—2ABADcosA

=（3）2+22—2325312=2，

BD=2.

16.如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，CD=6，AC=63，DAB=60，求梯形的高。

解析：过点C作CEAB，CE即为所求。

∵CD∥AB，DAB=60，

ADC=120，

由正弦定理得sinDAC=6sin12063=12，

DAC=30，CAB=30，

在Rt△CAE中，CE=ACsinCAB=12AC=33，

即梯形的高为33.

17.如图在△ABC中，AB=2，AC=4，线段CB的。垂直平分线交线段AC于D，DA—DB=1，求△BCD的面积。

解析：由于D是线段BC的垂直平分线上的一点，

BD=CD，于是AD—DB=AD—DC=1.

又∵AD+DC=AC=4，AD=52，DC=32.

在△ABD中，由余弦定理，得

cosADB=AD2+BD2—AB22ADBD=254+94—425232=35，

sinADB=1—cos2ADB=45.

∵BDC+ADB=180，

sinBDC=sinADB=45，

S△BCD=12BDCDsinBDC

=12323245=910.

18.将一块圆心角为120，半径为20 cm的扇形铁片截成一块矩形，如图所示有两种裁法：让矩形的一边在扇形的一条半径OA上，如左图，或让矩形一边与AB平行，如右图，问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值。

解析：（1）如图所示，

设AOM=（090），则OP=20cos，PM=20sin.

S1=OPPM=20cos20sin=400sincos=200sin2，

当=45时，S1取最大面积为200 cm2.

（2）如图所示，设AOM=（060），

在△OMQ中，由正弦定理得

QM=OMsinsinOQM=OMsinsin120=40sin3，

由图形的对称性知：AOB的平分线OC为扇形的对称轴，MOC=60—，

MN=2DM=2OMsin（60—）=40sin（60—），

因此S2=QMMN=40sin340sin（60—）

=80033[cos（2—60）—cos60]

=80033[cos（2—60）—12].

当cos（2—60）=1，2—60，=30时，

S2有最大值为40033cm2，

∵S2S1，

第二种方法截得的矩形有最大面积，最大面积为40033cm2.

高二各知识点数学题篇2

一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。）

1.抛物线的准线方程为（）

A B C D

2.下列方程中表示相同曲线的是（）

A ， B ，

C ， D ，

3.已知椭圆的焦点为和，点在椭圆上，则椭圆的标准方程为（）

A B C D

4.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（）

A B C D

5.与圆及圆都外切的圆的圆心在（）

A 一个椭圆上 B 双曲线的一支上 C 一条抛物线 D 一个圆上

6.点在双曲线上，且的焦距为4，则它的离心率为

A 2 B 4 C D

7.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到抛物线准线的距离为（）

A 1 B 2 C 3 D 4

8．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）

A 1条 B 2条 C 3条 D 无数条

9．设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则点到轴的距离为（）

A B 3 C D

10．以下四个关于圆锥曲线的命题中正确的个数为（）

①曲线与曲线有相同的焦点；

②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

③过椭圆的右焦点作动直线与椭圆交于两点，是椭圆的左焦点，则的周长不为定值。

④过抛物线的焦点作直线与抛物线交于A、B两点，则使它们的横坐标之和等于5的直线有且只有两条。

A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

11．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）

A 18 B 24 C 28 D 32

12．抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，则的"最大值，是（）

A B C D

二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）

13．已知点在抛物线的准线上，抛物线的焦点为_____，则直线的斜率为。

14．过双曲线左焦点的直线交双曲线的左支于两点，为其右焦点_____，则的值为_____

15．直三棱柱中，分别是的中点，_____，则与所成角的余弦值为_____。

16．设点是曲线上任意一点，其坐标均满足_____，则的取值范围为_____。

三、解答题

17．（10分）在极坐标系中，求圆的圆心到直线的距离。

18．（12分）如图（1），在中，点分别是的中点，将沿折起到的位置，使如图（2）所示，M为的中点，

求与面所成角的正弦值。

19．（12分）经过椭圆的左焦点作直线，与椭圆交于两点，且，求直线的方程。

20．（12分）如图，在长方体中，，点E在棱上移动。

（1）证明：；

（2）等于何值时，二面角的余弦值为。

21.（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆C的长轴长为4．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

22．（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为，

（1）求抛物线的方程；

（2）过点作直线交抛物线于两点，若直线分别与直线交于两点，求的取值范围。

牡一中2015-2016上学期高二理科数学期中试题参考答案

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

C D B D B A B C C B C B

13 14 15 16

三、解答题：

17.（10分）解：圆的方程为，圆心为；直线为，距离

18.（12分）与面所成角的正弦值为

19.（12分）解：当直线斜率不存在时，不符合题意；当直线斜率存在时，设直线，与椭圆方程联立得，由弦长公式得，直线方程为或。

20、（12分）（2）当时，二面角的余弦值为。

21、（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得，

解得，所以，

故所求椭圆C的方程为．

（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．

理由如下：

设点，，

将直线的方程代入，

并整理，得．（*）

则，．

因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，

所以，即．

又

于是，解得，

经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．

所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．

高二各知识点数学题篇3

古典概型(习题课)

本节是学生们在学习完古典概型的一节习题课，本节的主要任务是通过处理教材上的习题使学生进一步理解古典概型的概念及其计算方法，本着新课程的教学理念，为提高课堂效率，本节课我把讲台让给学生，以学习小组为单位，来进行本节课的教学。

(必修3、P134,第4题)

A、B、C、D四名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率：

①A在边上；②A和B都在边上；③A或B在边上；④A和B都不在边上

教师：同学们，准备好了吗？现在给大家一分钟的时间看看题，各小组选好自己的代表。

(稍作停留，给学生准备时间)，现在请第一组派代表来讲解第一小问。

学生1：题目中说4名同学站成一排，那么我们就考虑他们站队的情况，也就是基本事件个数有24种，用列举法表示出来就是：

ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB

BACD BADC BCAD BCDA BDAC BDCA

CABD CADB CBAD CBDA CDAB CDBA

DABC DACB DBAC DBCA DCAB DCBA

其中A在边上包括有最左边和最右边两种情况：共12种情况

所以A在边上的概率

学生2：老师，刚才同学1在计算基本事件的时候用列举法表示，考虑了四个人的顺序，而这道题在题目中说按任意的次序站，是没有顺序的，他的做法是不是不对？

老师：(心中一惊，看来学生对基本事件中顺序有无的考虑还有所欠缺，还需要加以强调)：那么同学们考虑考虑刚才这位同学的担心对不对？

学生3：同学1在刚才考虑的时候，基本事件的24种有顺序，但是所要求的事件A在边上包括12种基本事件也有了顺序，两者都考虑了顺序，所以甲的计算是对的，结果就应该是。

老师：刚才同学3说的很好，在具体问题的考虑过程中，如果考虑顺序的话，那两者我们都要考虑，否则就都不考虑，那么看看第一小问能不能都不考虑顺序呢？

【学生们互相讨论】

学生4：前面我们在处理2题的时候，电话号码有8位，但是题目中要求的事件中只看前两位的，当时在讲的时候我们用的第二种方法是：要求前两位，我们当时看的就是前两位，这个题能用这种思路吗？

老师(暗自高兴)：试试不就知道了吗？请上来把你的思路讲讲。

学生3：现在要安排4个学生的位置，那也就是说有4个位置

___ ___ ___ ___

那么同学A就有4个位置可选择，而要求是A在边上，所以A就只能选两边，就有2种情况，所以。

老师(惊讶)：对吗？

学生：对！这种方法真简单，比第一种方法好呀。

老师：答案是肯定的！我们在处理问题的时候一定要前后联系，做个“有心人”。那么，再看看有没有其他的方法？

学生5：这个题的4个问题都是问的边上的情况，那可不可以只看两边的情况，就是说4个人里面我只看2个个就可以了。

由题知道：对角线不能要，不要求顺序那我们就只看对角线一侧的就可以了，一共有6种结果，现在第一问中，要求A在边上有3种情况，那么很简单了，而且有表格以后后面的3问也就解决了。

第2问：A、B都在边上，那就只有一种情况，所以

第3问：A或B在边上有4种情况，所以

第4问：A、B都不在边上，也就是说出现的两个字母中没有AB的就一种情况CD了

所以。

教师(心中窃喜)：有没有疑惑需要同学5解释的？

学生6：第3问A或B在边上，我算的是，而刚才按他的方法得到的是，我不知道为什么？我认为“或”中应该有A和B同时在边上的情况，而刚才同学5做的时候没有A和B同时在边上的情况。

学生5：打个比方，我回宿舍或回教室，两者不会同时发生，所以不应该包括A和B同时在边上的情况。

教师：那到底有没有呢？请同学们互相讨论，查查资料看看到底包括A和B同时在边上的情况吗？

【学生们互相讨论】

学生7：找到了，前面在集合中有过，的定义就是由集合A或集合B中的元素构成的，其中“或”有三层意思：I、是A中的元素但不是B中的

II、是B中的元素但不是A中的

III、是由A、B中的公共元素组成的

所以应该包括A和B同时在边上的情况。

教师(感到欣慰)：对呀，我们数学中的“或”与生活中的“或”有所不同。是有三层含义的。前两种是二者居其一，第三种是同时具备。所以应该包括A和B同时在边上的情况，所以。

【学生8举手】

学生8：我觉得还可以通过确定事件之间的关系，根据公式可以处理。

第一问：A在边上，他坐左边或者右边不会同时发生，是互斥关系，而他坐左边和右边的概率都是，所以A坐两边就应该是。

第三问与第四问之间，两个事件很明显是对立事件，所以在做第三问的时候直接用公式就行了。

教师(心里美呀！)：同学8说的对吗？

学生：对，没问题。

教师：通过这节课，同学们熟练了古典概型的常规的处理思路和方法，课后大家好好总结一下，看看收获些什么。

课后反思：

通过本节的教学，我深深的感觉到调动学生积极性的重要性，因为数学课堂的枯燥，学生上课的时候常因听不懂而睡觉，总是觉得数学课那么的漫长，而这节课当我告诉学生们下课的时候，学生居然说了一句：怎么没一会就下课了，这么快。这是我听到的最欣慰的一句话。而且在上课的过程中，没有一个爬在桌子上睡觉的，都是坐的好好的，在整个教学过程中，学生们都在努力地思考，积极地研究。把讲台让给学生，让学生有了自我展现的舞台，可以锻炼学生，可以暴露学生在做题过程中的疑点、难点，使得教师的教学有的放矢。在教学的进程中，课堂的生成很多，学生的感悟很多，真正培养了学生的思维和能力。

高二各知识点数学题篇4

椭圆的几何性质

一、选择题：本大题共12小题，每小题5 分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设定点，，动点满足条件 > ，则动点的轨迹是 ( )

A. 椭圆 B. 线段 C. 椭圆或线段或不存在 D. 不存在

2. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为

A. 或 B. ( )

C. 或 D. 或

2. 过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于、两点，则、与椭圆的另一焦点构成，那么的周长是

A. B. 2 C. D. 1 ( )

3. 若椭圆的短轴为，它的一个焦点为，则满足为等边三角形的椭圆的离心率是 A. B. C. D. ( )

4. 若椭圆上有一点，它到左准线的距离为，那么点到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是 ( )

A. 4∶1 B. 9∶1 C. 12∶1 D. 5 ∶1

6. ，方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 A. B. C. D. ( )

7. 参数方程 ( 为参数)表示的曲线是 ( )

A. 以为焦点的椭圆 B. 以为焦点的椭圆

C. 离心率为的椭圆 D. 离心率为的椭圆

8. 已知<4，则曲线和有 ( )

A. 相同的准线 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴

9. 点在椭圆的内部，则的取值范围是 ( )

A. < < B. < 或 >

C. < < D. < <

10. 若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是 A. 2 B. 1 C. D. ( )

11. 椭圆的一个焦点为，点在椭圆上。如果线段的中点在轴上，那么点的纵坐标是 ( )

A. B. C. D.

12. 椭圆内有两点，，为椭圆上一点，若使最小，则最小值为 A. B. C. 4 D. ( )

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13. 已知椭圆的离心率为，则此椭圆的长轴长为。

14. 是椭圆上的点，则到直线：的距离的最小值为。

15. 若点是椭圆上的点，则它到左焦点的距离为。

16. 直线与椭圆相交于不同的两点、，若的中点横坐标为2，则直线的斜率等于。

高二各知识点数学题篇5

选修2-2 1.1 第3课时导数的几何意义

一、选择题

1.如果曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0，那么()

A.f(x0)0 B.f(x0)0

C.f(x0)=0 D.f(x0)不存在

[答案] B

[解析] 切线x+2y-3=0的斜率k=-12，即f(x0)=-120.故应选B.

2.曲线y=12x2-2在点1，-32处切线的倾斜角为()

A.1 B.4

C.544

[答案] B

[解析] ∵y=limx0 [12(x+x)2-2]-(12x2-2)x

=limx0 (x+12x)=x

切线的斜率k=y|x=1=1.

切线的倾斜角为4，故应选B.

3.在曲线y=x2上切线的倾斜角为4的点是()

A.(0,0) B.(2,4)

C.14，116 D.12，14

[答案] D

[解析] 易求y=2x，设在点P(x0，x20)处切线的倾斜角为4，则2x0=1，x0=12，P12，14.

4.曲线y=x3-3x2+1在点(1，-1)处的切线方程为()

A.y=3x-4 B.y=-3x+2

C.y=-4x+3 D.y=4x-5

[答案] B

[解析] y=3x2-6x，y|x=1=-3.

由点斜式有y+1=-3(x-1).即y=-3x+2.

5.设f(x)为可导函数，且满足limx0 f(1)-f(1-2x)2x=-1，则过曲线y=f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()

A.2 B.-1

C.1 D.-2

[答案] B

[解析] limx0 f(1)-f(1-2x)2x=limx0 f(1-2x)-f(1)-2x

=-1，即y|x=1=-1，

则y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为-1，故选B.

6.设f(x0)=0，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()

A.不存在 B.与x轴平行或重合

C.与x轴垂直 D.与x轴斜交

[答案] B

[解析] 由导数的几何意义知B正确，故应选B.

7.已知曲线y=f(x)在x=5处的切线方程是y=-x+8，则f(5)及f(5)分别为()

A.3,3 B.3，-1

C.-1,3 D.-1，-1

[答案] B

[解析] 由题意易得：f(5)=-5+8=3，f(5)=-1，故应选B.

8.曲线f(x)=x3+x-2在P点处的切线平行于直线y=4x-1，则P点的坐标为()

A.(1,0)或(-1，-4) B.(0,1)

C.(-1,0) D.(1,4)

[答案] A

[解析] ∵f(x)=x3+x-2，设xP=x0，

y=3x20x+3x0(x)2+(x)3+x，

yx=3x20+1+3x0(x)+(x)2，

f(x0)=3x20+1，又k=4，

3x20+1=4，x20=1.x0=1，

故P(1,0)或(-1，-4)，故应选A.

9.设点P是曲线y=x3-3x+23上的任意一点，P点处的切线倾斜角为，则的取值范围为()

A.0，23 B.0，56

C.23 D.2，56

[答案] A

[解析] 设P(x0，y0)，

∵f(x)=limx0 (x+x)3-3(x+x)+23-x3+3x-23x

=3x2-3，切线的斜率k=3x20-3，

tan=3x20-3-3.

0，23.故应选A.

10.(2016福州高二期末)设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，4]，则点P横坐标的取值范围为()

A.[-1，-12] B.[-1,0]

C.[0,1] D.[12，1]

[答案] A

[解析] 考查导数的几何意义。

∵y=2x+2，且切线倾斜角[0，4]，

切线的斜率k满足01，即01，

-1-12.

二、填空题

11.已知函数f(x)=x2+3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________.

[答案] 4x-y-1=0

[解析] ∵f(x)=x2+3，x0=2

f(2)=7，y=f(2+x)-f(2)=4x+(x)2

yx=4+x.limx0 yx=4.即f(2)=4.

又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y-7=4(x-2)

即4x-y-1=0.

12.若函数f(x)=x-1x，则它与x轴交点处的切线的方程为________.

[答案] y=2(x-1)或y=2(x+1)

[解析] 由f(x)=x-1x=0得x=1，即与x轴交点坐标为(1,0)或(-1,0).

∵f(x)=limx0 (x+x)-1x+x-x+1xx

=limx0 1+1x(x+x)=1+1x2.

切线的斜率k=1+11=2.

切线的方程为y=2(x-1)或y=2(x+1).

13.曲线C在点P(x0，y0)处有切线l，则直线l与曲线C的公共点有________个。

[答案] 至少一

[解析] 由切线的定义，直线l与曲线在P(x0，y0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个。

14.曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，斜率最小的切线方程为________.

[答案] 3x-y-11=0

[解析] 设切点P(x0，y0)，则过P(x0，y0)的切线斜率为，它是x0的函数，求出其最小值。

设切点为P(x0，y0)，过点P的切线斜率k= =3x20+6x0+6=3(x0+1)2+3.当x0=-1时k有最小值3，此时P的坐标为(-1，-14)，其切线方程为3x-y-11=0.

三、解答题

15.求曲线y=1x-x上一点P4，-74处的切线方程。

[解析] y=limx0 1x+x-1x-(x+x-x)x

=limx0 -xx(x+x)-xx+x+xx

=limx0 -1x(x+x)-1x+x+x=-1x2-12x .

y|x=4=-116-14=-516，

曲线在点P4，-74处的切线方程为：

y+74=-516(x-4).

即5x+16y+8=0.

16.已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1，-2)，过点P作直线l.

(1)求使直线l和y=f(x)相切且以P为切点的"直线方程；

(2)求使直线l和y=f(x)相切且切点异于点P的直线方程y=g(x).

[解析] (1)y=limx0 (x+x)3-3(x+x)-3x3+3xx=3x2-3.

则过点P且以P(1，-2)为切点的直线的斜率

k1=f(1)=0，

所求直线方程为y=-2.

(2)设切点坐标为(x0，x30-3x0)，

则直线l的斜率k2=f(x0)=3x20-3，

直线l的方程为y-(x30-3x0)=(3x20-3)(x-x0)

又直线l过点P(1，-2)，

-2-(x30-3x0)=(3x20-3)(1-x0)，

x30-3x0+2=(3x20-3)(x0-1)，

解得x0=1(舍去)或x0=-12.

故所求直线斜率k=3x20-3=-94，

于是：y-(-2)=-94(x-1)，即y=-94x+14.

17.求证：函数y=x+1x图象上的各点处的切线斜率小于1.

[解析] y=limx0 f(x+x)-f(x)x

=limx0 x+x+1x+x-x+1xx

=limx0 xx(x+x)-x(x+x)xx

=limx0 (x+x)x-1(x+x)x

=x2-1x2=1-1x21，

y=x+1x图象上的各点处的切线斜率小于1.

18.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.

(1)求直线l2的方程；

(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积。

[解析] (1)y|x=1

=limx0 (1+x)2+(1+x)-2-(12+1-2)x=3，

所以l1的方程为：y=3(x-1)，即y=3x-3.

设l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b，b2+b-2)，

y|x=b=limx0 (b+x)2+(b+x)-2-(b2+b-2)x

=2b+1，所以l2的方程为：y-(b2+b-2)=(2b+1)(x-b)，即y=(2b+1)x-b2-2.

因为l1l2，所以3(2b+1)=-1，所以b=-23，所以l2的方程为：y=-13x-229.

(2)由y=3x-3，y=-13x-229，得x=16，y=-52，

即l1与l2的交点坐标为16，-52.

又l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，-223，0.

所以所求三角形面积S=12-521+223=12512.