邢艺馨， 蓝益鹏， 姜云风， 孙伟栋
(沈阳工业大学 电气工程学院，辽宁 沈阳 110870)
“旋转伺服电机和滚珠丝杠”结构是精密数控机床最常用的传动部件。其主要功能是将旋转运动转换为线性运动。该结构中包含的中间传动链导致了系统具有较大的运动惯性，大量机械结构不可避免地导致大量机械结构摩擦和变形，进而引起功率损失并造成系统误差的积累[1]。由于滚珠丝杠的存在，整个系统的线速度、加速度和定位精度降低，无法满足数控机床高精度、高速度的加工要求。使用磁悬浮直线电机是解决这一问题的有效方法之一[2]。
在电励磁直线同步电动机(EELSM)中可以实现进给平台和静止导轨之间的相对独立[3-4]。系统的效率以及灵敏性均会受到导轨与机床平台摩擦力的影响，采用EELSM数控机床运动平台，可以消除摩擦对系统的影响。但在EELSM磁悬浮系统上会存在外界扰动等不确定性作用，难以对系统进行精确控制。因此，消除不确定因素对系统产生的影响，并设计出控制性能良好的控制器是实现系统高精度控制的关键[5-6]。
在许多实际系统中，对象的动力学方程是非线性的。自适应控制方法对于非线性系统来说具有较大的进步和发展。反步法是另一种应用较为广泛和有效的非线性控制设计，对控制器进行设计，之后与Lyapunov函数结合，使整个系统实现稳定控制[7]。为了消除未知非线性动态引起的困难和挑战，未知非线性扰动可以通过神经网络和模糊系统在线逼近[8]。为了降低系统非线性的影响，可通过径向基函数神经网络(RBFNN)对系统的非线性部分进行逼近[9]。文献[10]针对时滞未知、状态不可测、存在外界干扰的不确定非线性系统，提出了一种基于神经网络的自适应反步超扭滑模控制方案,保证了观测器和跟踪误差快速收敛到原点附近。文献[11]针对执行器故障参数和模式完全未知的分数阶非线性系统进行自适应神经网络反步控制设计。文献[12-13]针对不确定多输入多输出非线性系统开发了具有状态反馈情况的自适应神经网络反步控制。
分析了EELSM磁悬浮平台控制系统数学模型与状态方程，采用非线性自适应控制对EELSM磁悬浮系统所具有的非线性以及不确定性扰动有较强的适应性。本文设计了一种基于径向基函数神经网络的自适应反步控制器(RBFNN-ABC)，在自适应反步控制中，对于未知的动力学问题，通过使用径向基函数神经网络(RBFNN)作为函数逼近器来解决。其中的外部干扰与不确定性扰动通过自适应反步算法来估计。系统的稳定性通过Lyapunov函数方法来证明。将所提出的基于神经网络的自适应反步控制器(RBFNN-ABC)的仿真结果与经典比例积分(PI)控制器和自适应反步控制器(ABC)的仿真结果进行了比较。通过MATLAB仿真试验结果证明，与经典PI控制器和ABC相比，所提出的RBFNN-ABC在处理参数不确定性和干扰方面具有更加良好的性能。
图1为EELSM磁悬浮进给平台结构，整个系统包含多个机构。固定平台主要由定子、光栅尺及导轨构成，运动平台主要由动子及电涡流传感器组成。
图1 EELSM磁悬浮平台结构图
EELSM的平台基座下是定子铁心与励磁绕组，运动平台上为动子铁心和电枢绕组，数控机床进给平台与其动子固定连接驱动平台运动。
平台的悬浮由导轨和平台之间的气隙磁场产生的麦克斯韦力对动子铁心的吸引力实现，若想使平台稳定悬浮，可以改变励磁电流的大小，使气隙达到所需要的数值，与平台的重力相持。EELSM的励磁绕组可形成励磁磁场，励磁磁场和行波磁场产生电磁推力，平台的水平运动是由电磁推力来推动的，推力大小则通过调节q轴电流来改变。
为了使模型更加简化，做出如下假设条件[14-15]：
(1) 不计电机铁心饱和；
(2) 对磁滞与涡流损耗不予计算；
(3) 电枢绕组中通入三相对称电流，只考虑基波分量；
(4) 忽略齿槽效应的影响。
在d-q轴系下，电压与磁链方程如下。
电压方程为
(1)
式中：ud、uq分别为电枢绕组d轴、q轴的电压分量；
uf为磁极励磁的电压分量；
ψd、ψq为电枢绕组d轴、q轴的磁链；
ψf为励磁磁极磁链分量;v为运动平台的运动速度；
id、iq分别为电枢绕组d轴、q轴的电流分量；
if为磁极励磁的电流分量；
rf为磁极励磁绕组的电阻；
rs为电枢绕组的电阻。
磁链方程为
(2)
式中：Lmd、Lmq为d轴、q轴的主电感；
Lσf为励磁绕组的漏感；
Lσ为电枢绕组的漏感。
励磁磁场由励磁绕组通入直流电流产生，其对动子铁心有吸引力，采用id=0的矢量控制悬浮力计算式如下[16]:
(3)
垂直方向的运动方程：
(4)
式中：m为动子平台的质量；
fy为不确定性扰动；
K为磁悬浮系数，K=5.659×10-6；
δ为动子平台实际的悬浮气隙高度；
g为重力加速度；
Ld=Lσ+Lmd，Lσ不随悬浮气隙高度变化。
将电枢磁场对励磁磁场产生的影响作为扰动处理。因此，垂直方向总扰动为
(5)
(6)
设计一种自适应控制方法在线估计系统中的未知参数，对于系统中的不确定性扰动，使用RBFNN作为函数逼近器进行逼近，并补偿回控制器，以提升系统的性能。
3.1 构造虚拟控制变量和误差变量
根据式(6)可得系统的状态方程为
(7)
初始悬浮高度为δ0=0.003 m，根据反步方法构造新的误差变量z1和z2:
z1=x1-δ*
(8)
z2=x2-α1-δ*
(9)
式中：δ*为悬浮高度的参考值，δ*=0.002 5 m；
α1为虚拟控制变量。
反步控制设计第一步，定义Lyapunov函数为
(10)
对V1求微分可得：
(11)
将虚拟控制变量定义为
α1=-c1z1
(12)
式中：c1为虚拟控制变量系数，c1>0 。
由式(11)和式(12)可得：
(13)
反步控制设计的第二步，计算z2的导数为
(14)
α1的导数为
(15)
将式(15)代入式(14)中可得：
(16)
定义第二个Lyapunov函数为
(17)
对V2求微分可得：
(18)
控制律可以设计为
(19)
式中：c2为设计参数，c2>0。
将式(19)代入式(18)可得：
(20)
3.2 RBFNN原理
由于扰动f为未知量，利用RBFNN万能逼近的特性，来逼近扰动f，将其作为函数逼近器来使用。图2为RBFNN结构图。
图2 RBFNN结构
网络算法为
(21)
式中:h为网络的高斯基函数输出；
x为网络的输入；
j为网络隐含层第j个节点；
bj为高斯核宽度。
有如下函数：
f=W*Th(x)+ε
(22)
式中：W*为网络的理想权值；
ε为网络的逼近误差，ε≤εN。
(23)
3.3 控制律与参数自适应律
采用RBFNN逼近扰动f，根据式(19)，此时的控制律为
(24)
式中：η>0 。
设计第三个李雅普诺夫函数为
(25)
式中：μ>0 。
对V3求微分可得：
(26)
取自适应律为
(27)
(28)
由此可得出，基于RBFNN下的该自适应反步控制律，整个闭环系统是稳定的。
图3为EELSM控制系统的仿真框图。
图3 EELSM磁悬浮控制系统框图
传统的PI控制器用来调节系统中励磁电流，悬浮气隙高度通过所设计的非线性RBFNN-ABC控制。在仿真持续过程中，EELSM的仿真参数为,极对数p=3,dq轴电感Ld=Lq=0.018 74 H，电枢电阻rs=1.2 Ω，τ=0.048 m，m=10 kg,Lmd=Lmq=0.095 H，if=5.7 A，g=9.8 m/s2，rf=5 Ω。
c1、c2的变化会影响系统的恢复时间与响应速度。当c1、c2选取过小时，系统抗扰能力较差；
选取过大时系统不稳定。μ对扰动起到鲁棒控制的作用，η参数值不能选取过大，否则会引起系统抖振。选取PI控制器参数为P=100,I=1 500，选取非线性RBFNN-ABC的基本参数为c1=100,c2=100,μ=615,η=12。
4.1 EELSM起动性能分析
平台初始气隙高度3 mm，起动后，高度减小到目标高度2.5 mm。图4为空载起动时不同控制器气隙高度的响应曲线。当控制器为PI控制时，约0.1 s可以到达目标气隙高度；
采用ABC控制时，约0.06 s到达2.5 mm；
采用RBFNN-ABC控制时，达到稳定的时间约0.03 s。观察图4中可得三种控制方法均无超调。从仿真结果可以看出，RBFNN-ABC控制到达目标气隙高度时间最短，起动性能比另外两种控制要更加具有优势。
图4 起动时磁悬浮高度响应曲线
4.2 EELSM抗干扰能力分析
系统稳定运行后，在0.3 s时，加入额定负载扰动的20%～30%，并在0.6 s移除。图5为不同控制器在加入干扰后的气隙高度响应曲线。PI控制系统气隙高度动态降落的距离大约0.058 mm,由下降高度恢复至目标高度2.5 mm耗时大约0.192 s。ABC控制系统中，突加阶跃负载扰动后，高度降落大约0.025 mm，恢复到目标高度耗时约为0.079 s。RBFNN-ABC控制系统中，加入阶跃负载扰动后，高度降落约为0.011 mm,恢复时间约为0.021 s。突加负载扰动后，RBFNN-ABC系统所受影响最小，与PI和ABC系统相比高度下降分别减少了56.9%和81.1%，恢复目标高度的速度分别提高了58.9%和89.1%。由此可以看出RBFNN-ABC控制系统的抗干扰能力明显强于PI及ABC系统。
图5 加入负载扰动气隙高度响应曲线
图6为加入负载扰动后的励磁电流响应曲线。由图6中可以看出RBFNN-ABC控制的励磁电流的恢复时间明显优于PI控制以及ABC控制，恢复时间比PI控制提高了85.6%，比ABC控制提高了73.4%。由此可见RBFNN-ABC的抗扰能力是非常强大的。
图6 突加负载扰动励磁电流响应曲线
4.3 EELSM端部效应扰动的抑制能力分析
系统稳定运行后，0.3 s时，加入f=15sin(20t)的端部效应扰动。图7为加入端部效应扰动后的气隙高度响应曲线。由图7可以看出，PI控制系统在加入端部扰动后曲线波动较剧烈，有较大的超调量，抗扰能力弱。ABC控制系统中，波动程度有明显增强，与PI控制系统相比，ABC控制系统的抗扰能力较强。RBFNN-ABC控制系统中，系统几乎没有波动，明显看出此系统的抗扰能力比前两种系统要优越。
图7 正弦扰动下气隙高度响应曲线
为了提高数控机床进给平台EELSM磁悬浮系统的性能，提出了一种非线性RBFNN-ABC方法，通过研究得出以下的结论：
(1) 对EELSM磁悬浮系统的结构以及运行机理进行了分析，采用id=0的矢量控制对模型进行简化。将电枢磁场对励磁磁场产生的影响作为不确定性扰动处理，建立EELSM磁悬浮系统的数学模型，并推导出磁悬浮力的解析表达式。
(2) 提出非线性RBFNN-ABC方法，构造误差变量及虚拟控制量，并将输出误差限制在比较小的范围之中。设计了ABC，将RBFNN当作函数逼近器对不确定性扰动进行逼近，降低了不确定扰动对系统的影响，使系统趋于稳定。
(3) 构造Lyapunov函数对系统的稳定性进行了证明，充分证明了系统可渐近收敛至边界层内。仿真结果证明了非线性RBFNN-ABC控制规律的有效性。
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