闫洪波，曹 蕊，2，汪建新，于均成，付 鑫
(1.内蒙古科技大学 机械工程学院，内蒙古 包头 014010；
2.国家能源集团 中国神华煤制油化工公司鄂尔多斯煤制油分公司，内蒙古 鄂尔多斯 017209)
超磁致伸缩材料(giant magnetostrictive material,GMM)因具有磁致伸缩系数大、响应速度快、能量密度高、机电耦合系数高等优点[1]而广泛应用于传感器[2]、振动控制[3]、能量回收[4]等方面。在能量回收研究中，对于压电材料、磁致伸缩材料和压电/磁致伸缩复合材料的研究较广泛，但在谐振频率附近有较高的能量回收效率，偏离谐振频率后，能量回收效率明显下降，使系统的有效频带宽度较窄，这一问题使能量回收装置对外部振动的频率依赖性较强[5，6]，严重限制了能量回收装置的广泛应用。因此对能量回收装置的拓频研究具有一定的工程意义。为解决能量回收有效频带宽度窄这一问题，相关的拓频技术应运而生，这些技术原理大致归结为3种，第1种是多峰值拓频原理，Bai X L等人[7]利用该原理设计了一种螺旋式悬臂梁结构的压电/磁致伸缩复合采能模块，使采能模块在低频范围内获得多个输出峰值的同时缩短各峰值之间的距离而达到拓频的目的；
第2种是共振调谐原理，Xue H等人[8]利用该原理调整压电能量采集装置的并联压电片数量以调整系统的共振频率实现拓频的目的；
第3种是非线性拓频原理，杨进等人[9]利用该原理把单梁形式的压电/磁致伸缩复合采能器改成双梁结构，利用双梁结构永磁体和采能器之间的非线性运动实现能量回收装置的非线性拓频研究。
目前对于超磁致伸缩换能器能量回收装置的拓频研究还较少，由于超磁致伸缩换能器的输出具有一定的非线性特性[10]，本文将利用非线性拓频原理对超磁致伸缩换能器能量回收装置展开拓频研究，在此基础上进一步分析部分设计参数对能量回收效果的影响，为获得宽频带、高电压输出的能量回收装置提供设计依据。
超磁致伸缩换能器结构如图1所示。GMM棒作为换能器的核心部件，是实现电—磁—机3种形式能量转换的关键部件。超磁致伸缩换能器能量回收装置的工作原理是将外部力/位移激励作用于GMM棒，使GMM棒内部磁畴在外激励作用下发生偏转而产生变化的磁场，由法拉第电磁感应定律可知，变化的磁场会在GMM棒外部线圈中产生感应电场，从而实现机—磁—电能量形式的转换。通常，为了提高机电耦合系数，在GMM棒两端设计导磁环和永磁体，使GMM棒处于闭合磁路中。为了使换能器结构紧凑，提高GMM的磁致伸缩系数，设计碟簧为换能器提供预应力；
换能器还设计强制冷却设施，保障换能器处于良好的工作状态。
图1 超磁致伸缩换能器结构
将换能器简化为弹簧—阻尼—质量系统，如图2所示。由于换能器在工作时因为磁滞损失、涡流损失、异常损失以及几何变形等使换能器的输出具有一定的非线性特性[11,12]，在建立模型时考虑了非线性的影响。系统初始设计参数为：等效质量m=20 kg，GMM棒直径d=10 mm，等效刚度系数k=7.85×105N/m，等效机械阻尼系数cm=400 N·s/m，三次刚度系数γ=9.59×107N/m3，预应力σ0=6.69×105Pa，外部激励FcosΩt的幅值F=0.4 kN，Ω=2πf，f为激励频率。对图2应用牛顿第二定律可得系统的动力学方程。
图2 换能器能量回收装置的动力学简图
(1)
(2)
为便于非线性分析，引入小参数ε，使ξ=εξ1，β=εβ1，F0=2εF1，代入式(2)得
(3)
采用多尺度法[13]对式(3)求近似解，引入不同的时间尺度T0和T1，使T0=t，T1=εt，Dn=∂/∂Tn，设方程(3)的一阶近似解的形式为
x=x0(T0,T1)+εx1(T0,T1)
(4)
将式(4)代入式(3)，令小参数ε的同次幂系数相等
ε0系数项
(5)
ε1系数项
(6)
式(6)的通解一般可表示为
(7)
(8)
式中B′为B对T1的一阶导数，CC为前面各项的共轭。
当激励频率接近系统的固有频率时，系统发生主共振，此时引入调谐参数σ，令Ω=ω+εσ，对式(8)消除长期项可得
(9)
(10)
式中φ=σT1-φ，a′为a对T1的一阶导数。令a′和φ′ 分别为零可得到系统的幅频响应方程
(11)
非线性方程(3)的一阶稳态近似解为x=acos(Ωt-φ)，其中
(12)
外激励频率和振幅a之间的关系为
(13)
由式(13)可知，某一振幅响应a对应两个激励频率Ω1和Ω2，但这两个激励力频率对应的振幅可能是稳定的，也可能是不稳定的，此时引入雅可比矩阵[14]，利用劳斯稳定判据[15]得到系统的稳定性条件为
(14)
图3为能量回收系统三次刚度系数对幅频特性的影响曲线。可知，当系统的三次刚度系数γ=0 N/m3时为线性系统；
当γ=-95.9 MN/m3时，幅频特性曲线向左弯曲，为软式非线性系统；
当γ=95.9 MN/m3时，幅频特性曲线向右弯曲，为硬式非线性系统。以硬式非线性系统为例进行分析，在外激励不变的条件下，随着激振频率的缓慢增加，系统的振幅逐渐增大至最大值时，出现降幅跳跃现象后又随着激励频率的增大而减小。反之，随着激振频率的减小，振幅逐渐增大，当增大到某一值时，又出现增幅跳跃现象后随着激励频率的减小而减小。
图3 三次刚度系数对能量回收系统幅频特性的影响
由系统的幅频特性分析可知，在外激励作用下，能量回收系统在三次刚度系数不为零时的输出存在非线性特性，采用非线性拓频原理对能量回收系统进行拓频研究。
3.1 能量回收理论模型
在外部激励作用下，GMM棒内部磁畴发生偏转产生变化的磁场，若超磁致伸缩换能器外接闭合回路，在闭合回路中会产生感应电流。换能器能量回收系统的等效电路如图4所示。图中RC=1 Ω为线圈内阻，RL=10 Ω为负载电阻，机电耦合系数α=0.5。由基尔霍夫电压定律可得系统的电路方程
图4 换能器能量回收系统的等效电路
(15)
式中i为能量回收系统的感应电流。
考虑感应电流影响时，对系统应用牛顿第二定律得
(16)
结合式(15)与式(16)
(17)
其中,c=cm+ce，ce=α2/(RL+RC),ce为电阻尼。
同样使用多尺度法对式(17)求解得到系统的幅频响应方程及稳定性条件为
(18)
(19)
其中,ξ2=c/2mε结合图4可得系统产生的感应电流
(20)
负载电阻上产生的感应电动势
(21)
3.2 能量回收非线性拓频仿真分析
图5为三次刚度系数对能量回收系统负载电阻感应电压的影响曲线。为方便研究系统能量回收的有效带宽，以负载电阻上输出电压超过0.2 mV的频带宽度作为有效带宽。可知，当系统为线性系统时，有效带宽为6.58 Hz,最大电压峰值为0.46 mV；
当系统为软式非线性系统时，有效带宽为9.22 Hz,最大电压峰值为0.32 mV，软式非线性系统的有效带宽比线性系统拓宽了40 %，但感应电压幅值却有所降低；
当系统为硬式非线性系统时，有效带宽为9.33 Hz,最大电压峰值为0.59 mV。与线性系统相比，硬式非线性系统的有效带宽拓宽了近42 %，电压峰值增加了28 %，因此，利用换能器的硬式非线性特性能明显拓宽能量回收的有效频带宽度，同时也能增大输出电压峰值，本文以硬式非线性特性为例进行系统参数影响性分析。
图5 三次刚度系数对能量回收系统感应电压的影响
3.3 设计参数对能量回收效果的影响分析
图6为预应力对硬式非线性系统负载电阻感应电压的影响曲线。当预应力σ0=6.69×105Pa时，有效带宽为9.33 Hz,最大电压峰值为0.59 mV；
当预应力σ0=7.69×105Pa时，有效带宽为9.43 Hz,最大电压峰值为0.60 mV；
当预应力σ0=8.69×105Pa时，有效带宽为9.54 Hz,最大电压峰值为0.61 mV。可知，系统的预应力对有效带宽和输出电压峰值的影响较小。预应力主要使原本与激励力平行的磁畴发生旋转，预应力越大，初始方向的磁畴旋转的越多，在施加外部激励后，磁畴对外部激励力的敏感性会越小，因此，应尽可能使预应力小些，只要使输入杆和磁致伸缩棒紧密接触且GMM棒不处于拉伸状态即可[16]。
图6 预应力对硬式非线性系统负载电阻感应电压的影响
图7为阻尼系数对硬式非线性系统负载电阻感应电压的影响曲线。可知，当阻尼系数cm=300 N·s/m时，有效带宽为15.15 Hz,最大电压峰值为0.90 mV；
当阻尼系数cm=400 N·s/m时，有效带宽为9.33 Hz,最大电压峰值为0.59 mV；
当阻尼系数cm=500 N·s/m时，有效带宽为6.59 Hz，最大电压峰值为0.45 mV，系统的有效带宽和输出电压峰值随着阻尼系数的增大而减小。由于系统阻尼所消耗的能量与阻尼系数成正比，阻尼系数越大，系统消耗的能量越多，在其他参数不变的条件下，由能量守恒定律可知，系统转换成的电能越少。
图7 阻尼系数对硬式非线性系统负载电阻感应电压的影响
图8为刚度系数对硬式非线性系统负载电阻感应电压的影响曲线。当刚度系数k=5.85×105N/m时，有效频带范围为(29.82～43.06)Hz，带宽为13.24 Hz,最大电压峰值为0.72 mV，对应的激励频率为43.06 Hz；
当刚度系数k=7.85×105N/m时，有效频带范围为(31.71～41.02)Hz，带宽为9.31 Hz,最大电压峰值为0.59 mV，对应的激励频率为41.02 Hz；
当刚度系数k=9.85×105N/m时，有效频带范围为(34.41～41.80)Hz，带宽为7.39 Hz,最大电压峰值为0.54 mV，对应的激励频率为41.80 Hz。可知，随着系统刚度系数的增大，虽然感应电压峰值会有所降低，有效带宽也会变小，但系统的有效频带范围会产生偏移，通过调整系统的刚度系数可以调整系统对外界振动频率的使用范围，提高能量回收系统的适用性。
图8 刚度系数对硬式非线性系统负载电阻感应电压的影响
针对目前能量回收系统频带较窄，严重限制了能量回收装置的广泛应用这一问题，本文利用非线性特性对能量回收系统进行拓频研究，得到了以下研究结论：
1)超磁致伸缩换能器能量回收系统在外激励作用下，随着三次刚度系数的变化，系统会呈现非线性特性;
2)与线性系统相比，软式非线性系统能够使有效频带拓宽40 %，但是感应电压峰值会有所降低；
硬式非线性系统可使有效频带拓宽42 %，同时电压峰值也可提高28 %;
3)预应力、阻尼系数和刚度系数均对能量回收系统的输出有一定的影响。其中预应力对能量回收的影响较小；
系统的有效带宽和输出电压峰值随着阻尼系数的增大而减小；
刚度系数的增大也会使带宽和感应电压峰值有所降低，但是刚度系数会使系统的有效频带范围产生一定的偏移，可以扩大能量回收系统的频率使用范围。