温鹏程，赵 鹏，姚向明,2，张 璞
(1.北京交通大学 交通运输学院, 北京 100044；
2.北京交通大学 智慧高铁系统前沿科学中心, 北京 100044)
我国高速铁路(以下简称“高铁”)成网运营，旅客出行换乘较为普遍，2020年我国高铁旅客发送量为21.67亿人次，换乘客流量为3.4亿人次，占15.7%，大型枢纽站换乘客流占比可达20%～30%[1]。列车运行受到干扰可能引起本线列车延误并导致旅客无法换乘至其他线路。高铁夜间检修，末班车往往是旅客完成当日行程的最后机会，若衔接失败将导致换乘旅客无法到达目的地，对旅客出行造成严重影响。落实以人为本的理念，合理制定适用于末班车时段的调整策略以提高换乘接续水平及整体可达性，是行车调度调整需考虑的现实问题。
列车运行调整是轨道交通领域的热点问题，大多数学者以列车为中心，研究常规时段列车运行的快速恢复，降低损失。文献[2-3]对线路故障导致区间能力完全失效与部分失效场景下的列车运行调整问题展开研究，将列车运行过程抽象为“事件-活动网络”，建立混合整数线性规划调整模型。在此基础上，文献[4]考虑动车组接续问题，拓展运行调整问题的研究范围。文献[5]以车站及线路通过能力为约束，建立以列车取消数量及总晚点时间最小为目标的整数规划模型，并考虑终到站的正点率对结果的影响。文献[6]研究模型的计算效率问题，基于约束规划方法建立优化模型及算法，显著缩短求解时间，但优化效果不及既有求解方法。文献[7]研究区间限速场景下的列车运行调整问题，将列车延误时间与数量转化为满意度，建立线性及梯形满意度加权模型，提供新的建模思路。文献[8]权衡晚点对旅客及列车的影响，提出适当放宽列车延误要求以满足更多旅客出行需求的调整思路。文献[9]通过加入空驶列车及旅客绕行其他线路的方式来满足中断发生后的旅客出行需求，证明该策略能有效降低旅客损失。文献[10]考虑列车延误对铁路管理者、调度人员及旅客的影响，建立旅客行为仿真模型模拟其出行过程，以运营成本、列车正点率、旅客出行时间为目标构建模型。文献[11-12]将列车灵活停站、灵活折返与传统策略结合，提出一种中断场景下的实时调整模型。文献[13]研究路网多处中断场景下的调整问题。末班车运行调整方面，城市轨道交通领域已展开初步研究。文献[14]构建地铁网络末班车时刻表调整模型，采用ε约束法求解。文献[15]以最大化OD对可达性为目标建立混合整数规划模型并基于Dijkstra算法求解。文献[16]将地铁网络末班车时刻表协同优化问题转化为时空网络，采用拉格朗日算法求解。综上，国内既有研究较少从旅客出行角度展开，国外虽有部分研究考虑到旅客但并不适于我国；
对于末班车的调整在城市轨道交通领域已逐步受到重视，但其与高铁运营特点存在较大差异，研究成果不适于高铁。我国高铁具有运输距离远、运行时间长、末班车时间跨度大等特点，旅客乘车实名制、票席对应，调度部门能够实时获取完备的旅客出行信息，为以客运服务为导向的列车运行调整创造了条件。因此，需要基于我国高铁运输组织特点及优势，研究适合我国高铁末班车时段的运行调整方法。
本文重点考虑列车延误对旅客换乘的影响，紧密结合高铁特点及末班车时段旅客出行需求，以实际客票数据与列车运行图为基础，研究末班车时段列车运行调整及旅客换乘调整问题。基于末班车时段旅客出行需求的特殊性，提出采用调整接续列车出发时刻、旅客灵活换乘车次、列车灵活停站、列车小幅度超员策略与变更列车区间运行/停站时间、调整列车运行次序等策略结合的调整方案，建立线性整数规划模型，并通过案例分析验证模型的有效性。
线路末班车是指一条线路运行的最后一班列车。末班车时段指研究范围内的路网上各线路末班车中始发时刻最早的一列末班车的始发时刻至所有列车运行结束时刻为止的时段。本文以路网上某一换乘枢纽站为中心，考虑末班车时段内所有从该站发出或到达该站的列车，以换乘旅客为研究重点，将旅客换乘前、后乘坐的2列列车分别定义为前续列车和接续列车。
末班车时段考虑旅客换乘接续的调整策略见图1，线路1上有A、B、C等车站，线路2上有C、D、E等车站，换乘旅客从线路1出发前往车站D、E，需在车站C进行一次换乘。G3与G13是2条线路的末班车，末班车时段为该路网上各线路末班车中始发最早的末班车(即G3)始发时刻至所有列车运行结束(即G13终到)时刻为止的时段，车站C为换乘枢纽站，该时段内有2列列车到达C站，2列列车从C站发出，其中G1与G3为前续列车，G11与G13为接续列车。共6名换乘旅客，其中2名“白色旅客”目的地为D站(乘坐G1与G11)，4名“黑色旅客”目的地为E站(2名乘坐G1与G11，2名乘坐G3与G13)，原始列车运行见图1(a)。
若前续列车发生延误，G1到达C站时与G11之间的接续时间无法满足换乘时间要求，将造成原计划换乘G11的4名旅客滞留在C站，无法完成出行，故障时列车运行见图1(b)。为减少换乘失败的旅客数量，提高旅客的可达性，可采取利于旅客换乘的调整策略，如“调整接续列车出发时间”，当G1晚点时适当推迟接续列车G11在C站的出发时刻，使二者接续时间满足换乘时间要求，则旅客可成功换乘，列车灵活停站且超员见图1(c)。此外，还可以针对旅客进行调整，如“旅客灵活换乘车次”，当旅客错过计划换乘的接续列车G11时，可灵活换乘至后续列车G13。但G11与G13停站方案不同，后者在D站并无计划停站，2名“白色旅客”换乘G13后仍无法到达目的地，此时可采取“列车灵活停站”的策略，使G13在D站增加临时停站以送达2名“白色旅客”。由于原计划换乘G11的4名旅客改为换乘G13，因此需考虑列车容量的限制，必要时可采取“列车小幅度超员”策略，尽可能使更多旅客成功到达目的地，接续列车始发等待见图1(d)。当然，这样调整可能会增加列车总晚点时间，影响列车运行效率，因此，需根据实际情况在换乘失败的旅客人数及列车总晚点时间两目标间进行权衡。
图1 末班车时段考虑旅客换乘接续的调整策略
如果接续列车延误，前续列车与接续列车间实际接续时间仍满足要求，旅客可以成功换乘，因此不考虑这种情况。本文主要研究前续列车发生延误时，如何通过合理的行车调度及旅客换乘调整措施，尽可能使更多旅客成功到达目的地。
2.1 假设及符号说明
为便于研究，假设如下：
(1)不考虑旅客换乘其他交通方式、改变出行线路等行为，所有旅客服从铁路工作人员安排，对于直达旅客的时间损失，通过列车晚点时间间接表明。
(2)不考虑备用车和动车组运用问题。
(3)各车站上下行方向线路分别独立，不同方向列车进出站及运行互不干扰。
(4)故障发生时若已驶入故障区间的列车尚未通过，需等待至故障排除方可继续通行。
(5)末班车调整不可占用天窗时间。
L为线路集合，l为某一条线路，l∈L；
S为车站集合，s为某一车站，s∈S；
V为列车集合，i、j为列车，i,j∈V；
Sl为线路l上车站的集合；
Vl为线路l上列车的集合；
M为一个很大的数。相关参数及变量定义见表1、表2。
表1 参数符号及说明
表2 变量符号及说明
2.2 模型构建
既有的列车运行调整目标主要包括晚点时间最小、与计划运行图偏差最小、正点率最高等，从列车角度考虑无法准确反映客运服务质量。对旅客而言，发生延误后能否成功完成出行才是其最关心的问题，特别是末班车时段内，即使延长在车站等待时间、改变乘坐的接续列车、或在列车容量有限时改变座位类型等，只要能成功到达目的地，都可以接受。本文综合考虑换乘旅客与列车两方面因素建立双目标模型。目标Z1为最小化列车延误导致换乘失败的旅客人数，目标Z2为最小化列车总晚点时间，保证末班车时段客运服务质量的同时兼顾了列车运行效率。
minZ1=
( 1 )
( 2 )
根据旅客和列车在实际运行中的限制及规则，建立约束。
(1)旅客换乘相关约束
为保证旅客成功换乘并顺利到达目的地，前续列车与接续列车接续时间需满足换乘走行时间要求；
且接续列车需在旅客目的地停站；
有多列接续列车满足要求时，旅客仅能换乘其中1列。换乘约束为
∀i∈Vlj,j′∈Vl′s∈Sl′l,l′∈L
( 3 )
∀i∈Vlj,j′∈Vl′s∈Sl′l,l′∈L
( 4 )
yi,j,s,j′,l,l′≤d′j′,s,l′∀i∈Vlj,j′∈Vl′s∈Sl′l,l′∈L
( 5 )
( 6 )
列车载客人数应满足容量约束
Pi,j,s,j′,l,l′+C′j′,l′∀j′∈Vl′l,l′∈L
( 7 )
(2)运行调整基本约束
突发故障发生前，所有列车均按计划运行；
故障发生后，调度人员可调整列车到发时刻，但为满足旅客基本乘车需求，调整后列车在任意车站的出发时刻均不能早于其计划出发时刻。需满足基本约束
ai,s,l=Ai,s,l∀i∈Vls∈Sll∈LAi,s,l ( 8 ) di,s,l≥Di,s,l∀i∈Vls∈Sll∈L ( 9 ) 末班车时段内，应确保列车运行不占用天窗时间，以保证夜间检修作业顺利进行。天窗约束为 ai,s,l≤Tend∀i∈Vls∈Sll∈L (10) (3)停站与运行时间约束 为保证旅客乘降作业顺利进行，列车在原停站方案中计划停靠的车站必须停站，未计划停靠的车站可增加额外停站； d′i,s,l≥D′i,s,l∀i∈Vls∈Sll∈L (11) ∀i∈Vls∈Sll∈L (12) 列车运行过程中，在任意区间内运行时间应不小于最小纯运行时间与起停附加时间之和，且不能大于最大纯运行时间与起停附加时间之和。需满足运行时间约束 ∀i∈Vls∈Sll∈L (13) ∀i∈Vls∈Sll∈L (14) (4)追踪间隔与越行约束 为保证行车安全，同一线路上运行2列列车在同一车站的出发(到达)时刻需满足最小追踪间隔时间要求； ∀i∈Vlj∈Vls∈Sll∈L (15) ∀i∈Vlj∈Vls∈Sll∈L (16) (17) (18) (19) (5)与突发故障相关的约束 受突发故障影响，列车无法在故障期间通过对应区间，需在前方车站待避至故障排除方可继续通行。故障直接影响到的列车需满足约束 ∀i∈Vls∈Sll=L* (20) ∀i∈Vls∈Sll=L* (21) ∀i∈Vls∈Sll=L* (22) (23) 列车在车站停留需占用到发线，为确保故障发生区间前的所有车站s (6)到发间隔与车站能力约束 为保障列车安全运行与顺利进出站，相邻列车需满足到发间隔约束 Hd≤ai,s,l-dj,s,l+M×(1-x′i,j,s,l) ∀i,j∈Vls∈Sll∈L (25) 式中：x′i,j,s,l为0-1变量，i与j表示同一线路上的2列列车，s为i的到达站同时也是j的发车站，当x′i,j,s,l=1时，Hd≤ai,s,l-dj,s,l，列车j在车站s的发车时刻与列车i到达车站s的时刻满足最小到发间隔要求Hd。 列车到达或通过车站需占用车站线路，式(24)可确保故障存在期间列车能够在故障区间前方车站待避，但整个运行过程中应确保所有列车到达任意车站时都至少有1条线路可用，需满足约束 ∀i∈Vls∈Sll∈L (26) (7)有效不等式约束 列车i运行过程中，到达车站s的时间不可能既在故障发生前又在故障排除后； 所建立的模型为双目标线性整数规划模型，可将其转化为单目标进行求解。传统的权重系数法存在需额外设置参数、统一量纲及权重分析等问题，为此，本文采用epsilon-约束方法转化多目标模型并求得多组Pareto最优解集，分析采取不同方法调整时对目标的影响。模型目标包括换乘失败的旅客人数最少Z1和列车总晚点时间最小Z2，其中旅客能否成功换乘是评价末班车时段内客运服务质量的关键因素，因此选取前者作为最终目标，将后者转化为Epsilon-约束，求解步骤如下： Step2将目标Z2转化为 (29) 式中：ε为对目标Z2的容忍度，0≤ε≤1。 并将式(29)加入到模型中，得到以换乘失败旅客人数最少Z1为最终目标的单目标线性整数规划模型。 Step3设置ε初始值为0，使用Cplex12.8对Step2所得模型编程求解，得到一组近似Pareto最优解。 Step4不断更新ε取值(ε=ε+Δε,εmax=1)，计算不同边界条件下换乘失败旅客人数最少的解，得到多组Pareto最优解集并完成求解过程。 选取西安北站为换乘枢纽站，路网范围包括大西高铁、西银客运专线、西成客运专线及徐兰高铁郑西段与兰西段5条线路，西安北枢纽站衔接线路及站点分布见图2。根据2021年9月某日的计划运行图，末班车时段起止时刻为19:36、23:54，该时段内到达换乘站或从换乘站发出的列车包括大西高铁上下行12列、西银客运专线上下行9列、西成客运专线上下行22列，徐兰高铁郑西段上下行42列、徐兰高铁兰西段上下行16列、共101列。需要说明，并非任意2列列车都存在接续关系，只有满足换乘时间要求的一组列车间才有旅客换乘，案例中有换乘旅客乘坐的前续列车共38列，接续列车共13列。 根据实际客流数据，列车间换乘旅客人数小于20的占比达97%以上，接续时间短的列车间换乘人数多，接续时间超过200 min的无换乘旅客，为不影响结论的普适性，假设最小换乘时间15 min，换乘旅客人数以随机数方式确定：①换乘等待时间不大于30 min的换乘量为10～20间的随机整数； 列车起停附加时间分别取2、3 min，列车追踪间隔、到发间隔取3 min，最小停站时间取2 min，天窗开始时刻为24:00，各车站到发线数量、列车在各区间最小纯运行时间等参数均按线路实际设置，M取1 440。结合研究范围内路网的基本情况，随机生成5种故障场景，故障场景设置见表3。需要注意，部分早于末班车时段发生的故障也可能对末班车时段内的列车造成影响，这种情况也在研究范围内。 表3 故障场景设置 上述模型在AMD R7-4800 H 3.2 GHz，内存16 GB的计算机上使用IBM Cplex Optimization Studio 12.8求解，所有场景均在200 s内得到最优解，满足实际调度调整的实时性需求。为验证模型有效性，设置不同调整方案调整目标及策略对比见表4。具体如下： 表4 不同调整方案调整目标及策略对比 方案1：故障导致列车运行延误后不进行任何调整，列车仍按计划的运行次序与停站方案运行。 方案2：以列车为中心的调整方法，目标为最小化列车总晚点时间，调整列车运行计划。 方案3：考虑延误对旅客换乘的影响，兼顾晚点时间与换乘失败旅客人数两目标，调整列车运行计划。 方案4：按本文提出的方法与模型，既考虑列车运行调整，也考虑旅客换乘策略调整。 各场景下故障持续时间分别取10、20、30 min，通过不同方案调整，取Pareto解集中使换乘失败旅客人数最少的解，详细结果见表5。 由表5可以看出：①与未进行任何调整的方案1对比，方案2的换乘失败旅客人数平均可减少9%，但在场景1故障持续20 min时，调整后换乘失败旅客人数增加了36%，说明以列车为中心的调整方案不利于旅客的可达性，甚至导致更多旅客换乘失败而降低客运服务质量。②方案3的换乘失败旅客人数平均可减少85%，且在任意场景下都可有效减少这一指标，但调整后列车总晚点时间平均增大46%，说明方案3对列车运行质量影响较大。③方案4考虑列车与旅客两方面因素，与方案1和方案2对比，可有效减少换乘失败旅客人数，与方案3对比，在改善可达性的同时降低了对列车运行质量及直达旅客的影响，整体优化效果优于其他方案。 表5 各场景下采用不同调整方案结果对比 结果表明，通过多种策略结合的调整方案，可在末班车时段更好的保证换乘旅客出行需求并兼顾列车运行质量，证明了本文所提出方法的有效性。 3.2节结果分析表明，通过考虑旅客换乘的调整方案可有效提高客运服务质量，但旅客能否灵活换乘至其他列车并到达目的地，列车停站方案与列车容量是主要限制因素，因此提出“列车灵活停站”与“列车小幅度超员”策略，并设置对比方案(见表6)分析2种策略对结果的影响。以场景1为例，取故障持续时间为30 min，从ε=0开始不断更新ε取值(εmax=1,Δε=0.1)，得到各方案下Pareto最优解集。 表6 是否采取“列车灵活停治”及“小幅度超负”策略的方案对比 (1)列车灵活停站策略分析 方案4与方案5目标值随ε取值变化见图3。可以看出：①列车总晚点时间最小时，换乘失败旅客人数最多，各方案结果相同。②随ε取值增加，采取调整接续列车出发时间或增加停站的策略，可减少换乘失败旅客人数，但会增加列车总晚点时间。③方案5列车总晚点时间增幅大于方案4，当全部旅客换乘成功时，方案5总晚点时间为最小值的210%，而方案4仅为最小值的140%，这是因为列车灵活停站后，可满足更多旅客需求，从而减少推迟发车的列车数量。 图3 方案4、方案5的Pareto解集 因此，实际运用过程中调度人员需根据需求进行权衡并选择合适的Pareto最优解。考虑到末班车时段使旅客成功出行是最重要的目标，采取“接续列车灵活停站”的策略能在保证可达性的同时降低对列车总晚点时间的影响，或在较低晚点时间条件下尽可能减少换乘失败的旅客人数，从而有效提升客运服务质量。 (2)列车小幅度超员运行策略分析 方案4、方案6、方案7目标值随ε取值变化如图4。可以看出：①同一故障场景下，采取不同方案时列车最小总晚点时间相同，换乘失败旅客人数与方案中允许的最大超员幅度相关。②当全部旅客换乘成功时，方案6列车总晚点时间为最小值的210%，方案7与方案4为最小值的150%与140%，这是因为列车小幅度超员运行时其容量可满足更多旅客需求，从而减少推迟发车及增加停站的列车数量。 图4 方案4、方案6、方案7的Pareto解集 因此，列车小幅度超员运行是有效的优化调整策略，且允许的列车超员幅度越大，优化效果越明显，调度人员在实际运输生产过程中可在保证运行安全的前提下采取该策略进行调整，使更多旅客成功到达目的地并有效提高末班车时段的可达性。 兼顾列车和旅客的调整是轨道交通列车运行调整的必然方向，本文以末班车时段为背景进行了尝试，得到一些有益的结论。 (1)提出调整接续列车出发时间、旅客灵活换乘车次、列车灵活停站、列车小幅度超员等多种策略结合的调整方案，从列车和换乘旅客两方面出发，建立线性整数规划模型。该模型实用性良好，可快速求得多组Pareto最优解集，为调度人员提供辅助决策。 (2)对比不同方案调整效果，证明多种策略结合的调整方案能有效减少换乘失败旅客人数并兼顾列车运行质量。分析调整策略发现列车灵活停站与列车小幅度超员可方便旅客灵活换乘，提高方案调整效率。案例分析表明所提出的方法与模型能够为末班车时段以客运服务为中心的列车运行调整方案制定提供理论基础与方法支撑。 (3)主要研究调整方法，调整时会涉及旅客座位类型变更、车票改签、退票等问题，列车延误也将增加列车运行成本与旅客时间成本，若旅客换乘末班车失败，还会带来食宿成本等经济损失，因此考虑列车及旅客广义综合成本等复杂经济问题的运行调整是下一步研究重点。
对列车停站时间应予以限制，若停站则其在车站停留时间应不小于最小停站时间，若不停站则其在该站的实际到达时刻与实际出发时刻相等。停站约束为
调度人员可调整其运行次序，根据我国高铁线路特征，列车只能在车站越行。需满足追踪间隔与越行约束
且若列车i在故障排除前从车站s出发，也一定在故障排除前到达车站s，相关事实已包含在其它约束中，但为了加快模型求解速度，求解复杂问题时可设置有效不等式约束2.3 模型求解
3.1 基本信息
②换乘等待时间大于30 min的换乘量为1～10之间的随机整数；
得到总换乘人数1 863人。
3.2 结果分析
3.3 调整策略分析
