刘可为， 宁荣健
(合肥工业大学 数学学院, 合肥 230601)
2022年全国硕士研究生入学统一考试数学一第10题为
引例设X～N(0,1)，在X=x的条件下，Y～N(x,1)，则X与Y的相关系数为( ).
所以
下面给出两种解法.
解法1由于二维正态分布的密度函数为
解法2由于X～N(0,1)，则EX=0, DX=1,而
则Y～N(0,2),E(Y)=0,D(Y)=2.由于
所以X与Y的相关系数为
故选(D).
对于大多数考生来说，解法1的计算量虽然不大，但是其中二维正态分布的密度函数却难以记住，影响正常解题.作为填空题，解法2的计算量过大，不宜采用.
本文通过该问题中的有关独立性的讨论，给出本题方法简单，计算量适中的解题方法.
引例中，在X=x的条件下，Y～N(x,1)，可得Y-X=Y-x～N(0,1)，表明Y-X的条件分布与X取值无关，能否由此断言X和Y-X相互独立？其答案是肯定的，给出下列定理.
定理1设函数z=z(x,y)具有一阶连续偏导数，且z′y≠0，y=y(x,z).X和Y为随机变量，X的密度函数为fX(x).如果对满足fX(x)>0的任意实数x，当X=x时，Z=z(X,Y)的条件密度函数fZ|X(z|x)与x无关，并记fZ|X(z|x)为g(z)，则
(i)X和Z相互独立，且Z的密度函数fZ(z)=g(z)；
证(i)记(X,Z)的密度函数为f(x,z),-∞
f(x,z)=fX(x)fZ|X(z|x)=fX(x)g(z), -∞
对满足fX(x)=0的任意实数x，f(x,z)对z几乎处处为0，因此对任意(x,z)∈2，f(x,z)=fX(x)g(z)几乎处处成立.由于fX(x)dx=1，得g(z)=f(x,z)dx=fZ(z)，故f(x,z)=fX(x)fZ(z)在2内几乎处处成立，所以X和Z相互独立，且Z的密度函数fZ(z)=g(z).
(ii)由于X和Z相互独立，故由文献[1]定理2知Y的密度函数为
定理2设函数z=z(x,y)具有一阶连续偏导数，且z′y≠0，y=y(x,z).X和Y为随机变量，X的分布律为P{X=xi}=pi,i=1,2,….如果对满足pi>0的任意实数xi，当X=xi时，Z=z(X,Y)的条件分布律与xi无关，并将其记为P{Z=zj|X=xi}=qj，j=1,2,…，则
(i)X和Z相互独立，Z的分布律为P{Z=zj}=qj,j=1,2,…；
(ii)记Y=y(X,Z)的取值为y1,y2,…,yk,…，Y的分布律为
证(i)记(X,Z)的分布律为
P{X=xi,Z=zj}=pij,i=1,2,…；
j=1,2,….
对满足pi>0的任意实数xi，
pij=P{X=xi,Z=zj}=P{X=xi}P{Z=zj|X=xi}=piqj,j=1,2,…；
P{X=xi,Z=zj}= P{X=xi}P{Z=zj}，
所以X和Z相互独立，Z的分布律为P{Z=zj}=qj,j=1,2,….
(ii)由于X和Z相互独立，故(X,Z)的分布律为
P{X=xi,Z=zj}=piqj,i=1,2,…；
j=1,2,…，
进而得Y的分布律为
定理3设函数z=z(x,y)具有一阶连续偏导数，且z′y≠0，y=y(x,z).X和Y为随机变量，X的分布律为P{X=xi}=pi,i=1,2,….如果对满足pi>0的任意实数xi，当X=xi时，Z=z(X,Y)的条件密度函数fZ|X(z|xi)与xi无关，将其记为g(z)，则
(i)X和Z相互独立，且Z的密度函数fZ(z)=g(z)；
证(i)记(X,Z)的分布函数为F(x,z)，X的分布函数为FX(x)，Z的分布函数为FZ(z)，-∞ 对满足pi=0的任意实数xi，P{X=xi,Z≤z}=0，所以对任意的i=1,2,…,-∞ P{X=xi,Z≤z}=P{X=xi}P{Z≤z}. 进而对任意的-∞ 即F(x,z)=FX(x)FZ(z)，所以X和Z相互独立，Z的密度函数为fZ(z)=g(z). (ii)由于X和Z相互独立，故有 有了上面相关结论，再来看引例.记z=y-x，z′y=1≠0.由于在X=x条件下，Y～N(x,1)，故Z=Y-X=Y-x～N(0,1)，与x无关，所以由定理1(i)知X和Z相互独立，Z～N(0,1).进而由Cov(X,Z)=Cov(X,Y-X)=0，得Cov(X,Y)=DX=1.又Y=X+Z～N(0,2)，DY=2，所以所求相关系数为 显然，利用本文结论既不需要利用解法1中难以记住的二维正态分布的密度函数，又避免了解法2中繁杂的计算. 例1(根据2004年全国硕士研究生入学统一考试数学四第23题改编) 设随机变量X～U(0,1)，在X=x∈(0,1)的条件下，Y～U(0,x)， (ii)求Y密度函数fY(y). 证法1(i)由于在X=x∈(0,1)的条件下，Y～U(0,x)，故 所以 进而得 由于 (ii)由于 所以 (ii)由于X和Z相互独立，以及X～U(0,1),Z～U(0,1)，由定理1(ii)知 例2(根据2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一第22题改编) 设随机变量X的分布律为P{X=i}=p(1-p)i-1,i=1,2,…，在X=i(i=1,2,…)的条件下， P{Y=i+j|X=i}=p(1-p)j-1,j=1,2,…， (i)证明X和Y-X独立同分布； (ii)求Y的分布律. 证(i)记z=y-x，z′y=1≠0.由于在X=i(i=1,2,…)的条件下， P{Z=j|X=i}= P{Y-X=j|X=i}=P{Y=i+j|X=i}=p(1-p)j-1，j=1,2,… 与i无关，故由定理2(i)知X和Z相互独立，且Z的分布律为 P{Z=j}=p(1-p)j-1，j=1,2,…， 进而可知X和Z同分布，因此X和Z独立同分布，即X和Y-X独立同分布. (ii)由定理2(ii)，得Y的分布律为 (ii)求Y的密度函数fY(y). 所以 本文主要讨论了X和Y为离散型随机变量和连续型随机变量的情形，如果X和Y中出现非离散型随机变量，也非连续型随机变量，是否仍有类似的结论？这个问题还需进一步研究，欢迎各位同仁给于指导，也期盼能共同探讨. 致谢感谢审稿人给出的宝贵意见，感谢唐烁老师对论文的结构等多方面的指导.
