重庆市合川中学 黄富国 王安国 唐义恒 401520
试题:(2021 年新高考Ⅰ卷第19 题)记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin ∠ABC=asinC.(1)证明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cos ∠ABC.
本题为平面几何与三角的综合,主要考察使用正、余弦定理求三角的边长和内角的余弦等内容;
能力层面突出考查学生的数形结合能力、推理论证能力、辩证思维能力以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力,侧重考查逻辑推理、数学运算和直观想象等素养.试题分两问,梯度明显,既能让绝大数考生有所收获,又能区分不同层次的学生.试题常规,但内涵丰富,解法多样,极具探究价值,是一道值得研究的好题.试题(1)由题设,BD=,由正弦定理知,又b2=ac,∴BD=b,得证.下面着重探讨第(2)问.
评注:试题为有一个公共边的两个三角形结构模型,BD为公共边,∠ADB,∠CDB互补,分别在两个三角形中使用余弦定理,成功地将两个三角形的边、角衔接起来,从而得到试题的解答.这种解法常规,也是学生最容易想到,但要注意多解的取舍、漏解、错解等现象.
评注:有一个公共边的两个三角形结构模型也可以用向量表示,把表示,借助向量的数量积运算,得到三角形边角等式,使用余弦定理,进而得到答案.从解答过程来看,向量法与解法一的三余弦法本质上是一致的.实际上,对于余弦定理的证明教材上也是采用向量法.
评注:考虑到向量用坐标表示,在△ABC中,先确定点A、C坐标,再探究满足条件点B的运动轨迹.自然会想到,通过建系、设点,求点B的轨迹方程,得点B在圆上运动,再把条件b2=ac坐标化,得到关于点B方程组,解得点B的坐标,利用向量夹角公式求解.相比于解法一、二,解析法不但能减少运算,还形象直观展示满足条件的三角形,避免了三角形多解的讨论.
解法四(平面几何法):由条件b2=ac,从数列角度来看,a,b,c成等比数列,且b为等比中项,则有a>b>c或c>b>a,所以∠ABC为锐角.下面分别讨论a>b>c或c>b>a时三角形△ABC的图形.
当a>b>c时,BD=b,∠ABC为锐角,满足条件的三角形△ABC如图2所示.由于,所以sin ∠ABC=sin ∠BDC,又∠BDC为钝角,故∠ABC=∠ADB.在△ABC和△ABD中,∠A=∠A,∠ABC=∠ADB,所以△ABC~△ABD.时,,所以cos ∠ABC=.当c>b>a时,BD=b,∠ABC为锐角,满足条件的三角形△ABC如图3 所示.同理,△ABC~△BCD,,不合题意.综上,cos ∠ABC=.
图2
图3
从上面的解法中,自然会联想到,如果点D在AC边上移动时,cos ∠ABC的取值如何变化;
当点D移动到什么位置时只有一解,什么位置时又存在两解.受到解法四的启发,下面我们尝试从平面几何的角度对试题进行拓展.
拓展2:记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边CA上或AC的延长线上,BD=b.若AD=λCD(λ>0),求cos ∠ABC.
图4
图5
4.1 回归教材,立足通性通法
考题的模型来源于课本例题和习题模型,有一条公共边的两个三角形.这条公共边可以是三角形的中线、角平分线或任意一条边.在人教B版教材必修5中,这一模型的试题出现多次,如教材P5 例2,教材P10 习题1-1B:4,教材P20自测与评估第2题、第5题,这些题的公共边为角平分线或中线;
又如在教材1.2 应用举例问题2 中,测量地面上两个不能到达的地方之间的距离——两海岛之间的距离.衔接两个斜三角形的公共边就是任意的一条边.此类问题求解的基本思路都是利用公共边和两角互补,去衔接两个三角形,从而达到解决问题的目的.由此可见,高考要考查的考点与教材所要传达的知识点是一脉相承的,课本上着重要传达的思想、解决问题的方法及对应的知识点就是高考中的考点.因此,教师在教学中做到回归基础,从教材中最基本的解决问题的方法入手,总结出同类问题的通性通法.
4.2 重视知识间的联系
“课标(2017 年版)”指出:教学中注意沟通各内容之间的联系,通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式,进一步理解数学的本质,提高解决问题的能力.
就本题而言,关键是对“有一个公共边的两个三角形”结构认识,利用两角互补衔接两个三角形得到解法1;
联想到这一结构可以用向量表示就有了解法2;
考虑到满足条件的三角线的形状,进而探究点的轨迹也就有了解法3;
想到b2=ac可以看成等比数列,也可以看成两个三角形中对应边成比例,于是就有了解法4.可见,每一种解法的背后都是知识与方法的交融.以上的四种方法沟通了代数、几何、向量、解析几何的联系,通过对问题的求解,让学生感受代数法、向量法、解析法、平面几何的应用,体会到分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想方法,深化了学生对知识、思想、方法的理解.我们在教学的过程中要帮助学生建构知识的内在联系,完善认知结构.在不断学习的过程中理解数学、感悟数学,激发学生学习数学的灵感,提升学生的能力,培养学生的数学素养.
4.3 重视平面几何知识在解三角中的应用
三角形是最基本的几何图形,解三角形主要是利用正余弦定理研究三角形边长、角度、面积和周长等,本质还是几何问题.初中通过平面几何的性质研究几何图形,如特殊的三角形、勾股定理、三角形相似与全等;
高中强调用代数的方法研究几何问题,所以在高中几何学习中学生容易忽视图形的几何性质.一些学生存在一个误区,认为高中的知识“高级”,对初中学过的平面几何知识不屑一顾,不重视平面几何知识在解三角形的应用.高考通常以解三角形、解析几何试题为载体来考察平面几何知识.从解法4可以看到,利用图形几何性质,借助平面几何的知识,不但能避开繁琐的代数运算,使解决问题的过程得到简化,而且能更好地揭示问题的本质.
总之,解三角形在高中数学中占有重要的地位,是高考的重点.试题注重考察基础性和综合性.在高中复习中,要回归教材,注重通性通法,对试题进行一题多解,挖掘知识间的联系,尝试对试题进行拓展,培养学生发散思维和创新意识,感受数学和谐与统一之美.
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