罗续鹏，蒋海军，陈珊珊
(新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830017)
在线社交网络中谣言的肆意传播是互联网时代的典型社会现象，不但传播速度快、范围广[1]，而且会引起人们恐慌、对社会稳定产生负面影响[2].例如，在全球暴发的新冠肺炎疫情期间，产生了“双黄连口服液能够有效治愈新冠肺炎”和“板蓝根加熏醋能预防新冠肺炎”等谣言，这在很短时间内导致人们囤积商品，扰乱了市场秩序并使人们恐慌.因此，为了减少谣言造成的危害，研究在线社交网络中的谣言传播规律和提出有效的措施来干预谣言的传播是非常必要和紧迫的.
谣言传播的经典模型为DK 模型[3]与MT 模型[4]，它们将人口分为三类：未知者(不知道谣言的人)，传播者(知道并传播谣言的人)，恢复者(知道但不再传播谣言的人).然而，DK 模型和MT 模型的缺点是没有考虑网络的拓扑特征，不适合描述在线社交网络中大规模谣言传播过程.众所周知，复杂网络是从网络的角度将个体抽象为网络中的节点并进行建模[5−6]，将个体之间的依赖关系和相互作用看作节点之间的连边，从而将现实中的复杂系统进行简单化和抽象化，为谣言传播的研究奠定了理论基础.由于复杂网络具有小世界特征[7]和无标度性质[8]，因此许多学者在小世界网络[9−10]和无标度网络[11]上建立了谣言传播模型，考虑了网络的拓扑结构对谣言传播的影响.随着研究的深入，学者们发现真实网络中实体之间的相互作用不但呈现了高度异质性，而且还具有权重广泛分布的特征[12−14].在谣言传播过程中，边权用来表示用户之间联系或通讯的频繁程度，边权越大，用户之间的联系越紧密，未知者被谣言影响的概率也就越大.文献[15] 考虑了谣言传播率对节点之间基于权重的接触强度的依赖性，并发现边权和节点强度影响着谣言传播的阈值.文献[16] 证明了加权网络下无谣言平衡点的全局稳定性和谣言传播平衡点的持久性.此外，一些加权网络的传染病模型为研究谣言传播提供了一个新的视角[17−19].
值得注意的是，随着信息共享全球化的发展，一些网民同时拥有不同语言的在线社交网络账号，另一些网民生活在多语言环境中，使得谣言在多语言环境中广泛传播.一方面，不同语言的人群对同一谣言表现出不同的传播特征，而且这种谣言传播的异质性较单一语言环境下的谣言传播更为复杂.另一方面，谣言在跨多语言在线社交网络环境下传播可能通过人工翻译来实现，这必然使得同一谣言会产生多个版本.多语言环境增加了谣言研究的复杂性，同时给在线社交网络中谣言的识别与防控工作带来了很大的挑战.因此，研究谣言传播规律和动力学具有现实意义和应用价值.于是一些学者在多语言环境中建立了谣言传播模型[20−22].
然而，上述工作对多语言环境中谣言传播模型的研究主要集中在非加权的网络中，忽略了真实网络的交互强度.众所周知，网络的异质性是由其拓扑结构和连边权重确定的.在线社交网络内的异质交互模式通常用加权网络来描述，网络的节点和连边具有不同的权重，网络间交互强度的变化对实现网络的基本功能至关重要.其次，时滞是谣言传播过程中普遍存在的现象.当传播者发布或者转发谣言信息后，由于网络信息传递延迟导致未知者无法及时查看谣言信息，或未知者对谣言不能立即做出回应，无知者在成为传播者之前存在时滞.因此，本文在多语言环境和加权异质网络中建立了具有交叉传播的I2SR 时滞谣言传播模型.
人们生活在多语言环境中或者拥有不同语言的在线社交网络账号，使得谣言在多语言环境中交叉传播.假设t时刻在线社交网络上的总用户为N(t)，并将其分为四类：未知者(Ignorants)，记为I(t)，表示不知道谣言但是极易被谣言影响的用户；
传播者1(Spreaders-1)，记为S1(t)，表示知道谣言并通过第一种语言传播谣言的用户；
传播者2 (Spreaders-2)，记为S2(t)，表示知道谣言并通过第二种语言传播谣言的用户；
恢复者(Removers)，记为R(t)，表示知道谣言但不再传播谣言的用户.为了更准确地描述谣言传播过程，根据在线社交网络用户的连接度(即粉丝数量、交际圈或被关注度)，我们将度相同的用户划分为同一组，共分为m组.设分别表示在t时刻度为m的四类状态的密度，其中m=1,2,···,n.谣言的传播示意图如图1 所示.
基于异质平均场理论，多语言环境中具有交叉传播的时滞谣言传播模型为
众所周知，基本再生数R0是判断谣言是否传播的重要阈值.在本节中，我们定义R0并分析平衡点的存在性与稳定性.
定理1定义基本再生数
则F(Θ) 是凸递增函数.因此(7)有正解当且仅当
在本节中，我们通过数值仿真来验证本文所提的理论结果在不同参数下的有效性.由于异质网络中度分布函数服从幂律分布，考虑异质网络中节点最大度n=100，选取p(m)=dm−2.8并且d满足=1.选用依赖于节点度m的影响力函数:ϕ1(m)=m,ϕ2(m)=m0.9；
取g(m)=是常数；
设Λ=µ=0.02,α(m)=αm,β(m)=βm,m=1,···,100.
例1选取α=0.01,β=0.015,ω0=1,δ1=0.025,δ2=0.015,τ=10.若m∈[1,50]，当λ=0.01,R0≈0.133 5<1和λ=0.07,R0≈0.934 8<1 时无谣言平衡点E0的渐近稳定性分别见图2(a)和图2(b).若m∈[1,100],λ=0.02时，通过计算可知R0<1，E0的局部渐近稳定性如图2(c)所示；
当m=100 时，无谣言平衡点E0是全局渐近稳定的,如图2(d)所示，与定理2 一致.
例2选取α=0.3,β=0.4,ω0=0.1,δ1=0.005,δ2=0.008,λ=0.04,τ=10.通过计算可知R0=4.852 7>1.由定理1 可知，系统(5)存在唯一的谣言传播点E∗.若m∈[1,20]，谣言传播平衡点E∗的渐近稳定性如图3(a)和图3(b).当m=20 时，谣言传播平衡点E∗的局部和全局渐近稳定性轨迹如图3(c)和图3(d).综上可知，当R0>1 时，谣言传播平衡点E∗是全局渐近稳定的，这就验证了猜想1 的结论.
时滞τ对谣言传播的影响.分别取τ为0,10,20,30,40，其他参数与例2 一致.如图4 所示，时滞能够降低谣言传播的峰值，但是不改变谣言传播最终的平衡状态.
α(m),δ1和β(m),δ2分别与R0之间的关系.如图5 所示，我们分别选择参数α(m),β(m)∈[0,1],δ1,δ2∈[0,0.5]，其他参数与例2 中一致.结果表明，随着α(m)(或β(m))的增大和δ1(或δ2)的减小，R0逐渐增大.这就启发我们增强教育机制和采取相应的干预策略来减小R0的值有助于消除谣言传播.
在多语言环境和加权异质网络中，提出了具有交叉传播的I2SR 时滞谣言传播模型.首先，证明了解的正性和有界性.其次，为了判定平衡点的存在唯一性以及稳定性，定义了基本再生数R0.通过证明得到：当R0<1时，无谣言平衡点E0是全局渐近稳定的；
当R0>1 时，谣言传播平衡点E∗是全局渐近稳定的.最后，数值模拟结果表明加大教育的投入和采取相应的控制策略来减小基本再生数的值有助于消除谣言的传播.在未来，我们将进一步研究自适应加权异质网络中具有时滞的谣言传播动力学行为，同时考虑脉冲控制[24]、间歇控制[25]等策略来抑制谣言的传播.