付秀文， 林 崇
(青岛大学复杂性科学研究所， 山东 青岛 266071)
广义系统又称为广义状态空间系统，与正常系统相比，可以更精准的描述物理系统。时滞的存在往往会降低系统的性能，甚至使系统变得不稳定，因此，广义时滞系统一直广受研究和关注[1]。1972年，J.C.Willems[2]首次提出了耗散性的概念，耗散性理论本质就是存在一个能量供给函数，使系统的供给总能量大于其输出能量，在分析系统的稳定性时起着非常重要的作用。因此，研究广义时滞系统的耗散性以及容许性具有重要的理论意义和实用价值。目前，关于广义时滞系统耗散性的研究成果颇丰[3-8]。自1985年T.Takagi等人[9]提出了T-S模糊模型以来，因其强大的建模能力且可以近似非线性系统，受到广泛关注。针对T-S模糊广义时滞系统的耗散性问题，Han C S等人[10]运用时滞分割技术和松弛矩阵方法，研究了具有时滞的T-S模糊广义系统的耗散性分析问题；
M.Kchaou等人[11]研究了一类时滞T-S模糊广义系统带耗散性的滑模控制问题，其中系统受不确定性和输入非线性的影响；
Feng Z等人[12]构建增广的L-K泛函，结合辅助函数不等式及自由权矩阵，得到了严格 (Q,S,R)-γ-耗散的充分条件，并用迭代算法求解出所设计控制器的参数。针对广义时滞系统的容许性问题，Li W X等人[13]通过采用一种新型的广义积分不等式，基于LMIs的处理方法，得到T-S模糊广义时滞系统时滞相关的容许性条件；
Feng Z等人[14]研究了具有时滞的广义区间2型T-S模糊系统的容许性分析和镇定问题；
A.Ech-Charqy等人[15]运用时滞分割技术，结合Wirtinger不等式，研究了不确定广义时滞系统的时滞相关鲁棒稳定性问题；
Zhang H Y等人[16]推导出一种新型广义积分不等式，研究了T-S模糊广义时滞系统的容许性问题。基于此，本文将文献[17]中提出的非对称方法拓展到广义时滞系统的研究中，构造了增广的非对称的L-K泛函，运用积分不等式技术，对L-K泛函及其导数中的积分项进行估计，得到了低保守性的耗散性及容许性判据，并通过数值算例验证了所提方法的有效性及优越性。该研究具有一定的创新性。
考虑如下T-S模糊模型逼近的一类非线性广义时滞系统，模糊规则i为
(1)
通过对系统(1)进行模糊融合，得到全局模糊模型为
(2)
令ω(t)=0，系统(2)变为
(3)
根据文献[1]中的定义，若系统(3)正则、无脉冲且渐近稳定，则称系统(3)是容许的。为了后续推导及证明，现给出如下定义以及引理。
定义1[18]在零初始条件下，给定标量γ>0，对称矩阵Q≤0,R和任意适当维数的实矩阵S。如果系统满足如下不等式
G(ω,z,τ)≥γ〈ω,ω〉τ
(4)
引理1[19](Wirtinger不等式)对于一个任意的对称正定矩阵J∈Rn×n，标量α，β，并且α<β，以及连续可微函数x:≥[α,β]→Rn，以下积分不等式成立
(5)
其中
引理2[14]对于一个任意的对称正定矩阵J∈Rn×n，标量α，β，且α<β，以及连续可微函数x:≥[α,β]→Rn，以下积分不等式成立
(6)
其中
为了方便进一步推导和书写，提前定义以下向量为
为了研究T-S模糊广义时滞系统的耗散性及容许性分析问题，定理1给出系统(2)严格(Q,S,R)-γ-耗散的判定准则，并在推论1中给出系统(3)容许的判定准则。
定理1给定正标量τ,γ,对称矩阵Q≤0,R,及任意实矩阵S，系统(2)是严格(Q,S,R)-γ-耗散的，如果存在如下矩阵
使下列不等式成立
(7)
(8)
(9)
其中，U∈R(n-n1)×n是一个行满秩矩阵；
V∈Rn×(n-n1)是一个列满秩矩阵，并满足EV=0；
UE=0；
X11∈R(n-n1)×(n-n1)是可逆矩阵。而
Θ11=τP11+τ2W,Θ12=τP12E-τWE,Θ13=τP13E,Θ22=τETP22E+4T1+4ETWE
Θ23=τETP23E+2T2-6τ-1T1-6τ-1ETWE,Θ24=-3τ-1T2
Θ33=τETP33E+4Z1-3τ-1sym(T2)+12τ-2T1+12τ-2ETWE,Θ34=-6τ-1Z1+6τ-2T2
证明首先证明系统(2)的正则性与无脉冲性，由于rank(E)=n1 (10) (11) (12) (13) 由式(7)可得 T1+ETWE>0 (14) 在式(14)两边分别乘以HT和H，结合式(10)和式(12)，可得 T13>0 (15) 根据式(9)可得 Ξ11i<0 (16) (17) 由于W>0,Z1>0,Z2>0以及Q≤0，所以,根据式(16)可得 (18) 在式(17)两边分别乘以diag(HT,HT)及其转置，然后结合式(10)～式(13)及式(18)可得 (19) (20) (21) 即 (22) (23) 根据式(15)和式(23)可以推出，对于任意λi(μ)，满足如下 选择L-K泛函为 V(xt)=V1(xt)+V2(xt)+V3(xt)+V4(xt)+V5(xt) (24) 其中 通过文献[20]中的Jensen不等式及W>0，Z1>0，可得 V2(xt)+V3(xt)+V4(xt)= (25) 根据式(7)，并运用引理1，结合式(25)以及式(8)可得 V1(xt)+V2(xt)+V3(xt)+V4(xt)≥ (26) 由于Z2>0，故V5(xt)>0，则V(xt)>0。对V(xt)求导，得 (27) 其中 根据式(9)、引理2及Jensen不等式[20]，可得 (28) 对式(28)从0到t积分，又由于V(0)=0，可得 G(ω,z,τ)-γ[ω,ω]τ≥V(xt)-V(0)>0 (29) 综上所述，系统(2)是正则、无脉冲、稳定且严格(Q,S,R)-γ-耗散的。证毕。 注1由于广义系统的特殊性，本文运用的引理2是广义形式的辅助函数不等式，在L-K泛函式(24)中，添加V4(xt)和V5(xt)，以获得LMIs式(7)～式(9)可行解的条件。令P>0,T1>0,T2=0,Z1=σ1I,Z2=σ2I,且σ1,σ2均为极小的正实数，运用辅助函数不等式，并结合自由权矩阵，可以得到和文献[12]中定理1等价的耗散性判据，因此在理论上，本文所提非对称方法得到的结果和文献[12]相比具有更少的保守性，下一节将从数值上加以验证。 为了获得系统(3)容许性的条件，令系统(2)中ω(t)=0，以及定理1中Q,S,R,Bi,Ci,Di均为零矩阵，可以得到如下推论： 推论1给定正标量τ，如果存在矩阵 使下列不等式成立 (30) Θ>0, (31) (32) 则系统(3)是容许的。其中U∈R(n-n1)×n是行满秩矩阵;V∈Rn×(n-n1)是列满秩矩阵，并满足EV=0，UE=0，X11∈R(n-n1)×(n-n1)是可逆矩阵。则 证明当ω(t)=0时，结合定理1的证明，令Q,S,R,Bi,Ci,Di均为零矩阵，可知系统(3)是正则无脉冲的，并且可以得到如下不等式 (33) 注2令推论1中的P>0,T1>0,T2=0,可将推论1降为文献[14]中的定理1，从理论上与文献[14]的对称方法相比，本文所提的非对称方法具有更低的保守性。 通过2个数值例子，验证本章所得结果在降低保守性时的有效性与优越性。 例1考虑系统(2)具有2个模糊规则时，各常数矩阵为[12] 该例子的主要目的就是在确保系统(2)正则、无脉冲、稳定且严格(Q,S,R)-γ-耗散的前提下，寻找最大时滞上界τmax。因此，给定耗散矩阵为 为了更精确的说明，在给定耗散性指数γ=0.35的情况下，将本节所提方法与文献[10]、文献[11](hm=hd=0)及文献[12]进行比较，并给出最大时滞上界τmax的比较结果，系统(2)最大时滞上界比较如表1所示。由表1可以看出，本文所得结果在一定程度上降低了保守性，从数值上证明了本节所提的非对称L-K泛函方法，相较文献[12]中的对称L-K泛函方法具有更低的保守性。 例2考虑具有如下参数的T-S模糊广义时滞系统[16]为 例2的主要目的是寻找最大时滞上界τmax，确保系统(3)满足容许性的要求。给出文献[12]、[14]、[15]及[16]以及推论1，计算得到最大时滞上界τmax及决策变量的数量，比较几种方法的保守性以及计算数量，系统(3)最大时滞上界和决策变量的数量如表2所示。由表2可以看出，推论1所得的τmax最大，说明本文所提的非对称方法具有更低的保守性。 表1 系统(2)最大时滞上界比较 表2 系统(3)的最大时滞上界τmax和决策变量的数量 本文将文献[17]中提到的非对称的L-K泛函拓展至研究T-S模糊广义时滞系统的耗散性及容许性问题。首先构建合适的增广的非对称L-K泛函，然后结合积分不等式技术对L-K泛函及其导数中的积分项进行估计，运用LMI技术，在定理1中获得了保守性低的耗散性及容许性判定准则，所得结果相较于文献[12]以及文献[14]中的对称L-K泛函方法具有更少的保守性。最后，通过两个数值例子对上述内容进行了仿真验证，说明了所提方法的有效性及优越性。非对称L-K泛函方法为广义时滞系统的分析与研究提供了新的研究思路，同时也丰富了广义时滞系统的研究理论。下一步将考虑控制器的设计问题，将非对称L-K泛函的方法拓展至研究耗散控制等问题。
